Question

大多数数学家都同意：

e ^πi + 1 = 0

但是，大多数浮点实现都不同意。我们如何解决这一争议？

我很想知道不同的语言和实现，以及使结果尽可能接近零的各种方法。要有创意！

Answer 1

并非大多数浮点实现都不同意，只是他们无法获得获得100％答案所需的准确性。而正确的答案是他们不能。

PI是一个无限的数字系列，除了符号表示之外，任何人都无法表示，而且^ ^ X是相同的，因此获得100％准确度的唯一方法就是符号化。 / p>

Answer 2

这是我尝试过的一系列实现和语言的简短列表。按接近零排序：

方案：(+ 1 (make-polar 1 (atan 0 -1)))
- ⇒0.0+1.2246063538223773e-16i（Chez Scheme，麻省理工学院计划）
- ⇒0.0+1.22460635382238e-16i（Guile）
- ⇒0.0+1.22464679914735e-16i（带有numbers鸡蛋的鸡肉）
- ⇒0.0+1.2246467991473532e-16i（MzScheme，SISC，Gauche，Gambit）
- ⇒0.0+1.2246467991473533e-16i（SCM）
Common Lisp：(1+ (exp (complex 0 pi)))
- ⇒#C(0.0L0 -5.0165576136843360246L-20)（CLISP）
- ⇒#C(0.0d0 1.2246063538223773d-16)（CMUCL）
- ⇒#C(0.0d0 1.2246467991473532d-16)（SBCL）
Perl：use Math::Complex; Math::Complex->emake(1, pi) + 1
- ⇒1.22464679914735e-16i
Python：from cmath import exp, pi; exp(complex(0, pi)) + 1
- ⇒1.2246467991473532e-16j（CPython）
Ruby：require 'complex'; Complex::polar(1, Math::PI) + 1
- ⇒Complex(0.0, 1.22464679914735e-16)（MRI）
- ⇒Complex(0.0, 1.2246467991473532e-16)（JRuby）
R：complex(argument = pi) + 1
- ⇒0+1.224606353822377e-16i

Answer 3

是否有可能解决这一争议？

我的第一个想法是寻找一种符号语言，如Maple。我认为这不算浮点数。

事实上，如何用传统的编程语言代表 i （或工程师的 j ）？

也许一个更好的例子是罪（π）= 0？（或者我是否再次错过了这一点？）

Answer 4

我同意Ryan，你需要转移到另一个号码表示系统。解决方案超出了浮点数学的范围，因为你需要pi表示为无限长的小数，所以任何有限的精度方案都不会起作用（至少没有使用某种软糖因子来弥补丢失精度）。

Answer 5

你的问题对我来说似乎有些奇怪，因为你似乎在暗示浮点数学是由语言实现的。这通常不正确，因为FP数学是使用硬件中的浮点处理器完成的。但是软件或硬件，浮点总是不准确的。这就是浮动的工作原理。

如果您需要更高的精度，则需要使用不同的数字表示。就像你在不适合int或long的数字上做整数数学一样。有些语言有内置的库（我知道java有BigInteger和BigDecimal），但是你必须明确地使用那些库而不是本机类型，并且性能会（有时显着）比使用浮点数时更差。 / p>

Answer 6

@Ryan Fox

事实上，如何用传统的编程语言代表i（或工程师的j）？

原生复杂数据类型远未为人所知。 Fortran在六十年代中期开始使用它，OP展示了各种其他语言，支持他们进行组织跟进。

复杂的数字可以作为库添加到其他语言中（运算符重载它们甚至看起来就像代码中的本机类型一样）。

但除非你为这个问题提供特殊情况，否则“非协议”只是表达不精确的机器算术，不是吗？就像抱怨那样

float r = 2/3;
float s = 3*r;
float t = s - 2;

以（t！= 0）结束（至少如果你使用一个足够愚蠢的编译器）......

Answer 7

我和我最好的朋友谈论非理性数字以及其他数字之间的差异。好吧，我们俩都同意这个不同的观点：

无理数是关系，作为函数，在某种程度上，是什么方式？好吧，想想＆＃34;如果你想要一个完美的圆圈，给我一个完美的pi＆＃34;，但圆圈与其他数字不同（4边，5,6 ... 100,200）但是......你有多少个侧面，更像是一个圆圈。如果你到目前为止跟着我，在这里连接所有这些想法是pi公式：

所以，pi是一个功能，但永远不会结束！因为∞参数，但我想你可以拥有＆＃34;实例＆＃34;如果你改变一个非常大的Int的∞参数，你将有一个非常大的pi实例。

与e相同，给我一个巨大的参数，我会给你一个巨大的e。

将所有想法放在一起：

由于我们有内存限制，语言和库提供给我们巨大的无理数的实例，在这种情况下，pi和e，作为最终结果，你将有很长的时间获得0，就像@Chris提供的例子一样小丑-杨

Answer 8

事实上，如何用传统的编程语言代表i（或工程师的j）？

在没有本机表示的语言中，通常使用OOP添加它来创建Complex类来表示i和j，运算符重载以正确处理涉及其他Complex数字和/或该语言原生的其他数字原语的操作。

例如：Complex.java，C++ < complex >

Answer 9

数值分析告诉我们，您不能依赖大数之间微小差异的精确值。

这不仅影响这里所讨论的方程，而且可以通过求解近似的联立方程组，通过找到多项式的零，到评估log（~1）或exp（〜）来使一切变得不稳定。 0）（我甚至看到了用于评估log（x + 1）和（exp（x）-1）的特殊函数来绕过它）。

我建议你不要考虑将差异归零 - 你不能 - 而是以确保最小误差的方式进行相关计算。

对不起，自从我在大学录制这首歌以来已有43年了，即使我能记住参考文献，我也相信现在有更好的东西。我建议 this 作为起点。

如果这听起来有点光顾，我道歉。我的“数值分析101”是我的化学课程的一部分，因为当时没有多少CS。我并不真正感受到数值分析在现代CS课程中的地位/重要性。

Answer 10

这是我们当前浮点计算架构的限制。浮点运算只是数字极点的近似值，如e或pi（或任何超出您的位允许的精度）。我真的很喜欢这些数字，因为他们无视分类，并且看起来比甚至素数都有更大的熵（？），这是一个规范的系列。一个比例违抗的数字表示，有时像这样简单的事情会打击一个人的心灵（我喜欢它）。

幸运的是，通过使用符号概念（类似于Lasse V. Karlsen所描述的概念），整个语言和库可专用于精确三角函数。

考虑一种库/语言，它以机器可以理解的形式描述e和pi等概念。机器是否有任何完美圆圈的概念？可能不是，但我们可以创建一个对象 - 圆圈，它满足我们赋予它的所有已知特征（恒定半径，半径与圆周的关系是2 * pi * r = C）。像pi这样的物体仅通过上述比率来描述。 r＆amp; C可以是您想要给出的任何精度描述的数字对象。 e可以定义为“因为e是唯一的实数，使得函数f（x）= ex的点x = 0处的导数值（切线的斜率）正好是{{3 }}

有趣的问题。

稍微转向浮点（im）精度，第1部分

10 个答案: