Question

更具体地说，给定自然数d，如何在R ^ d中生成随机向量，使得每个向量x具有欧几里德范数<= 1？

通过numpy.random.rand（1，d）生成随机向量没有问题，但是这种具有范数＆lt; = 1的随机向量的可能性对于即使不小的d也是可预测的。例如，即使对于d = 10，约0.2％的这种随机向量具有适当小的范数。所以这似乎是一个愚蠢的解决方案。

编辑：回复：沃尔特的评论，是的，我正在寻找R ^ d中单位球中向量的均匀分布。

Answer 1

基于Wolfram Mathworld关于hypersphere point picking的文章和Nate Eldredge's answer关于math.stackexchange.com上的类似问题，你可以通过生成d独立高斯的向量来生成这样的向量随机变量和随机数U在闭区间[0, 1]上均匀分布，然后将向量归一化为范数U^(1/d)。

Answer 2

根据user2357112的回答，你需要这样的东西：

import numpy as np
...
inv_d = 1.0 / d
for ...:
    gauss = np.random.normal(size=d)
    length = np.linalg.norm(gauss)
    if length == 0.0:
        x = gauss
    else:
        r = np.random.rand() ** inv_d
        x = np.multiply(gauss, r / length)
        # conceptually: / length followed by * r
    # do something with x

（这是我的第二个Python程序，所以不要向我开枪......）

技巧就是那个

具有相同σ的d个独立高斯变量的组合是d维的高斯分布，显着地具有球对称性，
d维中的高斯分布可以通过除以范数投影到单位球上，
d维单位球体中的均匀分布具有累积径向分布r ^d（这是你need to invert）

Answer 3

这是我正在使用的Python / Numpy代码。由于它不使用循环，因此速度更快：

n_vectors=1000
d=2

rnd_vec=np.random.uniform(-1, 1, size=(n_vectors, d))                # the initial random vectors
unif=np.random.uniform(size=n_vectors)                               # a second array random numbers
scale_f=np.expand_dims(np.linalg.norm(rnd_vec, axis=1)/unif, axis=1) # the scaling factors
rnd_vec=rnd_vec/scale_f                                              # the random vectors in R^d

需要第二个随机数组（ unif ）作为第二个缩放因子，否则所有向量都将具有等于1的欧几里德范数。

在Python中生成Euclidean范数＆lt; = 1的随机向量？

3 个答案: