获得e值的最快方法是什么？

Question

什么是最优化的算法，以中等精度找到e的值？

我正在寻找优化方法之间的比较，更加重视速度而不是高精度。

编辑：中等准确度我的意思是小数点后6-7位。 但如果速度有巨大差异，那么我可以选择4-5个位置。

Answer 1

如需参考，请参阅Brother的公式：https://www.intmath.com/exponential-logarithmic-functions/calculating-e.php

Answer 2

1. 基本数据类型

   如评论6-7中所述，小数位数的精度太小，无法通过算法执行此操作。而是使用常量，这是最快的方式。

   const double e=2.7182818284590452353602874713527;
   

   如果涉及 FPU ，常量通常也会存储在那里......同时使用单个常量占用的空间比计算它的函数少得多......

2. 有限准确度

   只涉及bignum次，因此有任何优点可以使用算法来计算e。算法取决于目标的准确性。同样，对于较小的精度，使用预定义的常量：

   e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170189
   

   但通常采用十六进制格式，以便更快，更精确地操作：

   e=2.B7E151628AED2A6ABF7158809CF4F3C762E7160F38B4DA56A784D9045190CFEF324E7738926CFBE5F4BF8D8D8C31D763DA06C80ABB1185EB4F7C7B5757F5958490CFD47D7C19BB42158D9554F7B46BCED55C4D79FD5F24D6613C31C3839A2DDF8A9A276BCFBFA1C877C56284DAB79CD4C2B3293D20E9E5EAF02AC60ACC93ECEBh
   

   对于有限/有限精度和最佳速度，PSLQ算法最佳。我的理解是找到实数和整数迭代之间关系的算法。

   • here is my favourite PSLQ up to 800 digits of Pi PSLQ example

3. 任意准确性

   对于任意或＆＃34;固定＆＃34;精度你需要具有可变精度的算法。这是我在arbnum课程中使用的内容：

   e=(1+1/x)^x where x -> +infinity
   

   如果您选择x作为2的幂，则认识到x只是数字的单个设置位，而1/x具有可预测的位宽。因此e将通过单一划分和pow获得。这是一个例子：

   arbnum arithmetics_e()          // e computation min(_arbnum_max_a,arbnum_max_b)*5 decimals
       {                           // e=(1+1/x)^x  ... x -> +inf
       int i; arbnum c,x;
       i=_arbnum_bits_a; if (i>_arbnum_bits_b) i=_arbnum_bits_b; i>>=1;
       c.zero(); c.bitset(_arbnum_bits_b-i); x.one(); x/=c; c++;
       for (;!x.bitget(_arbnum_bits_b);x>>=1) c*=c;    //=pow(c,x);
       return c;
       }
   

   其中_arbnum_bits_a,_arbnum_bits_b是二进制小数点前后的位数。所以它通过平方分解为一些位操作，一个bignum除法和单个幂。要注意乘法和除法并不像bignums那么简单，通常涉及Karatsuba或更糟糕......

   还有一些多项式方法，不需要类似于计算bignum的{​​{1}}算术。想法是每次迭代计算二进制位块，而不影响先前计算的位（太多）。它们应该更快，但通常用于依赖于实现和运行的HW的任何优化。