Question

我正在尝试编写python算法来执行以下操作。给定一组正整数S，找到总和最小的子集，该子集大于或等于k。

例如： S = [50，103，85，21，30] k = 140

子集= [85、50、21]（总和= 146）

初始集中的数字都是整数，k可以任意大。通常，集合中大约有100个数字。

当然，存在遍历所有可能子集的蛮力解决方案，但这在O（2 ^ n）中运行是不可行的。有人告诉我这个问题是NP-Complete，但是应该有一种动态编程方法，使其能够像背包问题一样在伪多项式时间内运行，但是到目前为止，尝试使用DP仍然可以使我找到解决方案就是O（2 ^ n）。

有没有办法解决这个问题？如果是这样，怎么办？我发现DP很难理解，所以我可能错过了一些东西。

非常感谢您的帮助。

Answer 1

看到数字不是整数而是实数，我能想到的最好是O(2^(n/2) log (2^(n/2))。

乍一看可能看起来更糟，但请注意2^(n/2) == sqrt(2^n)

因此，要实现这种复杂性，我们将在中间使用称为Meet的技术：

将集合分为大小为n/2和n-n/2的2个部分
使用蛮力生成所有子集（包括空子集）并将其存储在数组中，我们将其称为A和B
让我们对数组B进行排序
现在对于A中的每个元素a，如果B[-1] + a >=k，我们可以使用二进制搜索找到B中满足b的最小元素a + b >= k

a + b

选择最小的

OP现在稍微改变了一个问题，它的整数是动态解决方案：

经典背包没什么多说的

对于[1，n]中的每个i，我们有2个用于设置项目i的选项： 1.包括在子集中的状态从(i, w)到(i+1, w + S[i])的变化 2.跳过它，状态从(i, w)变为(i+1, w)

每次我们到达> = k的w时，我们都会更新答案

伪代码：

visited = Set() //some set/hashtable object to store visited states
S = [...]//set of integers from input
int ats = -1;

 void solve(int i, int w) //theres atmost n*k different states so complexity is O(n*k)
{
    if(w >= k)
    {
        if(ats==-1)ats=w;
        else ats=min(ats,w);
        return;
    }
    if(i>n)return;

    if(visited.count(i,w))return; //we already visited this state, can skip
    visited.insert(i,w)=1;

    solve(i+1, w + S[i]); //take item
    solve(i+1, w); //skip item
}

solve(1,0);
print(ats);

最小总和大于或等于k的子集

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