求解线性方程

时间:2008-08-03 18:14:24

标签: math linear-algebra system linear-equation

我需要以编程方式解决C,Objective C或(如果需要)C ++中的线性方程组。

以下是方程的一个例子:

-44.3940 = a * 50.0 + b * 37.0 + tx
-45.3049 = a * 43.0 + b * 39.0 + tx
-44.9594 = a * 52.0 + b * 41.0 + tx

由此,我想得到abtx的最佳近似值。

10 个答案:

答案 0 :(得分:19)

Cramer's RuleGaussian Elimination 是两个很好的通用算法(另见Simultaneous Linear Equations)。如果您正在寻找代码,请查看GiNaCMaximaSymbolicC++(当然,取决于您的许可要求)。

编辑:我知道你在C领域工作,但我还要为SymPy(Python中的计算机代数系统)说一句好话。你可以从它的算法中学到很多东西(如果你能读懂一些python)。此外,它是在新的BSD许可下,而大多数免费的数学包是GPL。

答案 1 :(得分:15)

您可以使用与手动求解的方法完全相同的方法来解决此问题(使用乘法和减法,然后将结果反馈到方程式中)。这是非常标准的中学数学。

-44.3940 = 50a + 37b + c (A)
-45.3049 = 43a + 39b + c (B)
-44.9594 = 52a + 41b + c (C)

(A-B): 0.9109 =  7a -  2b (D)
(B-C): 0.3455 = -9a -  2b (E)

(D-E): 1.2564 = 16a (F)

(F/16):  a = 0.078525 (G)

Feed G into D:
       0.9109 = 7a - 2b
    => 0.9109 = 0.549675 - 2b (substitute a)
    => 0.361225 = -2b (subtract 0.549675 from both sides)
    => -0.1806125 = b (divide both sides by -2) (H)

Feed H/G into A:
       -44.3940 = 50a + 37b + c
    => -44.3940 = 3.92625 - 6.6826625 + c (substitute a/b)
    => -41.6375875 = c (subtract 3.92625 - 6.6826625 from both sides)

所以你最终得到:

a =   0.0785250
b =  -0.1806125
c = -41.6375875

如果您将这些值重新插入A,B和C,您会发现它们是正确的。

诀窍是使用一个简单的4x3矩阵,它依次缩小为3x2矩阵,然后是2x1,即“a = n”,n是实际数字。一旦你有了它,你将它提供到下一个矩阵中以获得另一个值,然后将这两个值放入下一个矩阵中,直到你解决了所有变量。

如果你有N个不同的方程式,你总是可以求解N个变量。我说的很明显,因为这两个不是:

 7a + 2b =  50
14a + 4b = 100

它们是相同的方程乘以2,所以你无法从它们得到一个解决方案 - 将第一个乘以2然后减去离开你的真实但无用的语句:

0 = 0 + 0

举例来说,这里有一些C代码可以解决你在问题中放置的联立方程。首先是一些必要的类型,变量,用于打印方程的支持函数,以及main的开头:

#include <stdio.h>

typedef struct { double r, a, b, c; } tEquation;
tEquation equ1[] = {
    { -44.3940,  50, 37, 1 },      // -44.3940 = 50a + 37b + c (A)
    { -45.3049,  43, 39, 1 },      // -45.3049 = 43a + 39b + c (B)
    { -44.9594,  52, 41, 1 },      // -44.9594 = 52a + 41b + c (C)
};
tEquation equ2[2], equ3[1];

static void dumpEqu (char *desc, tEquation *e, char *post) {
    printf ("%10s: %12.8lf = %12.8lfa + %12.8lfb + %12.8lfc (%s)\n",
        desc, e->r, e->a, e->b, e->c, post);
}

int main (void) {
    double a, b, c;

接下来,将具有三个未知数的三个方程式减少到具有两个未知数的两个方程式:

    // First step, populate equ2 based on removing c from equ.

    dumpEqu (">", &(equ1[0]), "A");
    dumpEqu (">", &(equ1[1]), "B");
    dumpEqu (">", &(equ1[2]), "C");
    puts ("");

    // A - B
    equ2[0].r = equ1[0].r * equ1[1].c - equ1[1].r * equ1[0].c;
    equ2[0].a = equ1[0].a * equ1[1].c - equ1[1].a * equ1[0].c;
    equ2[0].b = equ1[0].b * equ1[1].c - equ1[1].b * equ1[0].c;
    equ2[0].c = 0;

    // B - C
    equ2[1].r = equ1[1].r * equ1[2].c - equ1[2].r * equ1[1].c;
    equ2[1].a = equ1[1].a * equ1[2].c - equ1[2].a * equ1[1].c;
    equ2[1].b = equ1[1].b * equ1[2].c - equ1[2].b * equ1[1].c;
    equ2[1].c = 0;

    dumpEqu ("A-B", &(equ2[0]), "D");
    dumpEqu ("B-C", &(equ2[1]), "E");
    puts ("");

接下来,将具有两个未知数的两个方程式减少到一个未知的方程:

    // Next step, populate equ3 based on removing b from equ2.

    // D - E
    equ3[0].r = equ2[0].r * equ2[1].b - equ2[1].r * equ2[0].b;
    equ3[0].a = equ2[0].a * equ2[1].b - equ2[1].a * equ2[0].b;
    equ3[0].b = 0;
    equ3[0].c = 0;

    dumpEqu ("D-E", &(equ3[0]), "F");
    puts ("");

现在我们有了number1 = unknown * number2类型的公式,我们可以使用unknown <- number1 / number2简单地计算出未知值。然后,一旦你计算出该值,将其替换为具有两个未知数的方程之一并计算出第二个值。然后将这些(现在已知的)未知数替换为原始方程之一,现在您拥有所有三个未知数的值:

    // Finally, substitute values back into equations.

    a = equ3[0].r / equ3[0].a;
    printf ("From (F    ), a = %12.8lf (G)\n", a);

    b = (equ2[0].r - equ2[0].a * a) / equ2[0].b;
    printf ("From (D,G  ), b = %12.8lf (H)\n", b);

    c = (equ1[0].r - equ1[0].a * a - equ1[0].b * b) / equ1[0].c;
    printf ("From (A,G,H), c = %12.8lf (I)\n", c);

    return 0;
}

该代码的输出与此答案中的早期计算相符:

         >: -44.39400000 =  50.00000000a +  37.00000000b +   1.00000000c (A)
         >: -45.30490000 =  43.00000000a +  39.00000000b +   1.00000000c (B)
         >: -44.95940000 =  52.00000000a +  41.00000000b +   1.00000000c (C)

       A-B:   0.91090000 =   7.00000000a +  -2.00000000b +   0.00000000c (D)
       B-C:  -0.34550000 =  -9.00000000a +  -2.00000000b +   0.00000000c (E)

       D-E:  -2.51280000 = -32.00000000a +   0.00000000b +   0.00000000c (F)

From (F    ), a =   0.07852500 (G)
From (D,G  ), b =  -0.18061250 (H)
From (A,G,H), c = -41.63758750 (I)

答案 2 :(得分:7)

对于3x3线性方程组,我想可以推出自己的算法。

然而,您可能不得不担心准确性,除以零或非常小的数字以及如何处理无限多的解决方案。我的建议是使用标准的数值线性代数包,如LAPACK

答案 3 :(得分:6)

查看Microsoft Solver Foundation

有了它,您可以编写如下代码:

  SolverContext context = SolverContext.GetContext();
  Model model = context.CreateModel();

  Decision a = new Decision(Domain.Real, "a");
  Decision b = new Decision(Domain.Real, "b");
  Decision c = new Decision(Domain.Real, "c");
  model.AddDecisions(a,b,c);
  model.AddConstraint("eqA", -44.3940 == 50*a + 37*b + c);
  model.AddConstraint("eqB", -45.3049 == 43*a + 39*b + c);
  model.AddConstraint("eqC", -44.9594 == 52*a + 41*b + c);
  Solution solution = context.Solve();
  string results = solution.GetReport().ToString();
  Console.WriteLine(results); 

以下是输出:
=== Solver Foundation Service Report ===
日期时间:2009年4月20日23:29:55
型号名称:默认
要求的能力:LP
求解时间(ms):1027
总时间(毫秒):1414
解决完成状态:最佳
选择的解算器:Microsoft.SolverFoundation.Solvers.SimplexSolver
指令:
Microsoft.SolverFoundation.Services.Directive
算法:Primal
算术:混合



定价(准确):默认
定价(双倍):SteepestEdge
依据:Slack
枢轴数:3
===解决方案详情===
目标:

决定:
a:0.0785250000000004
b:-0.180612500000001
c:-41.6375875

答案 4 :(得分:3)

您是否正在寻找能够完成工作或实际执行矩阵操作的软件包并执行每一步?

第一个,我的同事刚刚使用Ocaml GLPK。它只是GLPK的包装器,但它消除了许多设置步骤。看起来你不得不坚持使用C语言中的GLPK。对于后者,感谢美味的保存旧文章我曾经学过LP一段时间,PDF。如果您需要进一步设置特定帮助,请告诉我们,我确定,我或其他人会回来帮忙,但是,我认为这是相当直接的。祝好运!

答案 5 :(得分:3)

来自NIST的

Template Numerical Toolkit拥有实现这一目标的工具。

更可靠的方法之一是使用QR Decomposition

这是一个包装器的示例,以便我可以在我的代码中调用“GetInverse(A,InvA)”,它会将反转放入InvA。

void GetInverse(const Array2D<double>& A, Array2D<double>& invA)
   {
   QR<double> qr(A);  
   invA = qr.solve(I); 
   }

Array2D在库中定义。

答案 6 :(得分:2)

就运行时效率而言,其他人的回答要好于I.如果你总是会有与变量相同数量的等式,我喜欢Cramer's rule,因为它很容易实现。只需编写一个函数来计算矩阵的行列式(或者使用已经写过的函数,我相信你可以在那里找到一个),然后除以两个矩阵的行列式。

答案 7 :(得分:2)

从问题的措辞来看,似乎你有更多的方程式而不是未知数,你想要最小化不一致性。这通常通过线性回归来完成,其最小化不一致的平方和。根据数据的大小,您可以在电子表格或统计包中执行此操作。 R是一个高质量的免费软件包,可以在很多其他方面进行线性回归。线性回归(以及很多问题)有很多,但是对于简单的情况来说这很简单。这是使用您的数据的R示例。请注意,“tx”是模型的截距。

> y <- c(-44.394, -45.3049, -44.9594)
> a <- c(50.0, 43.0, 52.0)
> b <- c(37.0, 39.0, 41.0)
> regression = lm(y ~ a + b)
> regression

Call:
lm(formula = y ~ a + b)

Coefficients:
(Intercept)            a            b  
  -41.63759      0.07852     -0.18061  

答案 8 :(得分:1)

function x = LinSolve(A,y)
%
% Recursive Solution of Linear System Ax=y
% matlab equivalent: x = A\y 
% x = n x 1
% A = n x n
% y = n x 1
% Uses stack space extensively. Not efficient.
% C allows recursion, so convert it into C. 
% ----------------------------------------------
n=length(y);
x=zeros(n,1);
if(n>1)
    x(1:n-1,1) = LinSolve( A(1:n-1,1:n-1) - (A(1:n-1,n)*A(n,1:n-1))./A(n,n) , ...
                           y(1:n-1,1) - A(1:n-1,n).*(y(n,1)/A(n,n))); 
    x(n,1) = (y(n,1) - A(n,1:n-1)*x(1:n-1,1))./A(n,n); 
else
    x = y(1,1) / A(1,1);
end

答案 9 :(得分:1)

就个人而言,我偏爱Numerical Recipes的算法。 (我很喜欢C ++版。)

本书将教您算法的工作原理,并向您展示这些算法的一些非常好的调试实现。

当然,你可以盲目地使用CLAPACK(我已经非常成功地使用它了),但我会首先手动输入高斯消除算法,至少对这种工作有一个微弱的想法已经使这些算法稳定。

稍后,如果您正在进行更有趣的线性代数,查看Octave的源代码将回答很多问题。