Question

是否有更快的算法来计算（n！modulo m）。比每个乘法步骤的减少更快。并且是否有更快的算法来计算（a ^ p modulo m）比右 - 左二进制方法更好。

这是我的代码： N！ mod m

ans=1
for(int i=1;i<=n;i++)
    ans=(ans*i)%m;

a ^ p mod m

result=1;
while(p>0){
    if(p%2!=0)
        result=(result*a)%m;
    p=(p>>1);
    a=(a*a)%m;
}

Answer 1

现在a^n mod m是O(logn)，这是Modular Exponentiation算法。

现在对于另一个n! mod m，您提出的算法显然是O(n)，所以显然第一个算法更快。

Answer 2

计算a^p modulo m的标准技巧是使用连续的平方。我们的想法是将p扩展为二进制，比如说

p = e0 * 2^0 + e1 * 2^1 + ... + en * 2^n

其中(e0,e1,...,en)是二进制（0或1）和en = 1。然后使用指数定律来获得a^p

的以下扩展

a^p = a^( e0 * 2^0 + e1 * 2^1 + ... + en * 2^n )
    = a^(e0 * 2^0) * a^(e1 * 2^1) * ... * a^(en * 2^n)
    = (a^(2^0))^e0 * (a^(2^1))^e1 * ... * (a^(2^n))^en

请注意，每个ei都是0或1，所以这些只是告诉您要采用哪些数字。所以你需要的唯一计算是

a, a^2, a^4, a^8, ..., a^(2^n)

您可以通过平方前一个术语来生成此序列。由于您要计算答案mod m，因此应首先进行模运算。这意味着您要计算以下内容

A0 = a mod m
Ai = (Ai)^2 mod m for i>1

答案是

a^p mod m = A0^e0 + A1^e1 + ... + An^en

因此，计算需要log(p)个方格并调用mod m。

我不确定是否存在阶乘的模拟，但是开始寻找的好地方是Wilson's Theorem。此外，您应该对m <= n进行测试，在这种情况下n! mod m = 0。

Answer 3

对于第一次计算，如果ans > m：

，你应该只使用mod运算符

ans=1
for(int i=1;i<=n;i++) {
    ans *= i;
    if (ans > m) ans %= m;
}

对于第二次计算，使用(p & 1) != 0可能比使用p%2!=0要快得多（除非编译器识别出这种特殊情况并为您完成）。然后，除非必要，否则相同的注释适用于避免%运算符。

N！ modulo m，a ^ p modulo m

3 个答案: