Question

给定函数y = f（A，X）：

unsigned long F(unsigned long A, unsigned long x) {
    return  ((unsigned long long)A*X)%4294967295;
}

对于'x'的所有值，如何找到反函数x = g（A，y）使得x = g（A，f（A，x））？

如果f（）对于'x'的所有值都不可逆，那么最接近逆的是什么？

（F是一个过时的PRNG，我试图理解一个人如何反转这样的功能）。

更新
如果A是（2 ^ N）-1的相对素数，则g（A，Y）只是f（A-1，y）。
如果A不是相对素数，那么y的范围受到约束...... 如果限制在该范围内，g（）是否仍然存在？

Answer 1

您需要Extended Euclidean algorithm。这给你R和S这样

gcd(A,2^N-1) = R * A + S * (2^N-1).

如果gcd为1则R为A的乘法逆。则反函数为

g(A,y) = R*y mod (2^N-1).

好的，对于G = Gcd（A，2 ^ N-1）不是1的情况，这是更新。在这种情况下

R*y mod (2^N-1) = R*A*x mod (2^N-1) = G*x mod (2^N-1).

如果y由函数f计算，那么y可以被G整除。因此我们可以将上面的等式除以G并得到一个模（2 ^ N-1）/ G的等式。因此，这组解决方案是

  x = R*y/G + k*(2^N-1)/G, where k is an arbitrary integer.

Answer 2

解决方案给出了here（http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_congruence_theorem），并且演示了如何使用扩展的欧几里德算法来找到解决方案。

模数函数一般没有逆函数，但有时你可以找到一组映射到给定y的x。

Answer 3

Accipitridae，Glenn和Jeff Moser之间有答案，但值得解释的是为什么不是每个数字都有一个逆转模型4294967295.原因是4294967295不是素数;它是five factors的乘积：3 x 5 x 17 x 257 x 65537.数字 x 在mod m if and only if下有一个多重逆 x 和 m 是coprime，因此任何这些因素的倍数都不能在函数中出现反转。

这就是为这些PRNG选择的模数通常为素数的原因。

Answer 4

呃......这是一个有效的方法：

unsigned long G(unsigned long A, unsigned long y)
{
    for(unsigned int i = 0; i < 4294967295; i++)
    {
        if(y == F(A, i)) return i);
    }
}

Answer 5

你需要计算A mod ((2^N) - 1)的倒数，但是你可能并不总是给出你的模数的倒数。见this on Wolfram Alpha。

请注意

A = 12343有逆（A ^ -1 = 876879007 mod 4294967295）

但是12345没有反转。

因此，如果A是relatively prime且（2 ^ n）-1，那么您可以使用Extended Euclidean Algorithm

轻松创建反函数

g(A,y) = F(A^-1, y)，

否则你运气不好。

更新：针对您更新的问题，您仍然无法在限制范围内获得唯一的反转。即使您使用CookieOfFortune的强力解决方案，您也会遇到类似

的问题

G(12345, F(12345, 4294967294)) == 286331152 != 4294967294。

A * X MOD（2 ^ N）-1的逆

5 个答案: