测试封面的整数线性规划公式？

Question

测试封面问题可以定义如下：

假设我们有一组n疾病和一组m测试我们可以检查症状。我们还给出了以下内容：

• n x n矩阵A其中A[i][j]是二进制值，表示对患者进行j测试的结果i疾病（1表示阳性结果，0表示阴性）;
• 运行测试的费用j，c_j;那
• 任何患者都会患上一种疾病

任务是找到一组能够以最低成本唯一识别每种n疾病的测试。

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此问题可以表示为整数线性程序，我们希望最小化目标函数\sum_{j=1}^{m} c_j x_j，如果我们选择在集合中包含测试x_j，则j = 1 ，否则为0。

我的问题是：

  

这个问题的线性约束是什么？

顺便说一句，我认为这个问题是NP难的（一般是整数线性规划）。

Answer 1

如果我是正确的，你只需要确保

\sum_j x_j.A_ij >= 1 forall i

Answer 2

让T成为删除所有j的{​​{1}} A列j所产生的矩阵，使x_j = 0。

然后选择一组能够唯一区分任何两种疾病的测试，相当于确保T的每一行都是唯一的。

当且仅当k适用于所有l时，请注意两行(T[k][j] XOR T[l][j]) = 0和j相同。

所以，我们想要的约束是

  

\sum_{j=1}^{m} x_j(A[k][j] XOR A[l][j]) >= 1

     

适用于所有1 <= k <= m和1 <= l <= 1，k != l。

请注意，上述约束是线性的，因为我们可以预先计算系数(A[k][j] XOR A[l][j])。