仿函数和endofunctors之间的差异

Question

有人可以简单地解释两者之间的区别吗？我并没有完全理解monad是endofunctor而不仅仅是functor的部分。

Answer 1

仿函数可以从一个类别转到另一个类别，endofunctor是一个仿函数，其起点和目标类别相同。

与内同态与态射相同。

现在，为什么monad必须是endofunctors？

有一句名言称“Monads只是endofunctors类别中的幺半群”。幸运的是，其他人已经很好地解释了in this answer。

monad必须是一个endofunctor的关键点是join，因为它在Haskell中调用，或者µ，因为它通常在类别理论中被称为，它是monad的定义¹。现在

Prelude Control.Monad> :t join
join :: Monad m => m (m a) -> m a

因此将仿函数m应用于对象（在Hask中，Haskell类型的类别作为对象和函数作为态射，类型）的结果必须是m可以再次成为的对象应用于。这意味着它必须属于仿函数m的域类。

如果一个仿函数的域和codomain是相同的[严格来说，如果它的codomain是其域的子类别]，换句话说，如果它是一个endofunctor，那么它只能由它自己组成。由于可自身的可组合性是monad定义的一部分，monad是一个更好的endofunctors。

¹一个定义，可以使用(>>=)或bind定义monad，并将join作为派生属性。