Question

当我添加三个浮点值并将它们与1进行比较时，我遇到了问题。

cout << ((0.7 + 0.2 + 0.1)==1)<<endl;     //output is 0
cout << ((0.7 + 0.1 + 0.2)==1)<<endl;     //output is 1

为什么这些价值会有所不同？

Answer 1

浮点加法不一定是关联的。如果您更改添加内容的顺序，则可能会更改结果。

关于这个问题的标准文件是What Every Computer Scientist Should Know about Floating Point Arithmetic。它给出了以下示例：

另一个灰色区域涉及括号的解释。由于舍入误差，代数的关联定律不一定适用于浮点数。例如，当x = 1e30，y = -1e30且z = 1时，表达式（x + y）+ z与x +（y + z）的答案完全不同（前者为1，后者为0））。

Answer 2

目前流行的机器和软件可能是：

编译器将.7编码为0x1.6666666666666p-1（这是十六进制数字1.6666666666666乘以2得-1的幂），.2编码为0x1.999999999999ap-3，.1 1}}为0x1.999999999999ap-4。这些中的每一个都是浮点数可表示的数字，它最接近您所写的十进制数字。

观察到这些十六进制浮点常数中的每一个在其有效数字中都恰好有53位（＆＃34;分数＆＃34;部分，通常不准确地称为尾数）。有效数字的十六进制数字具有＆＃34; 1＆＃34;对于64位二进制浮点数，还有13个十六进制数字（每个四位，总共52位，53包括＆＃34; 1＆＃34;），这是IEEE-754标准提供的。

让我们添加.7和.2的数字：0x1.6666666666666p-1和0x1.999999999999ap-3。首先，缩放第二个数字的指数以匹配第一个数字。为此，我们将指数乘以4（改变＆＃34; p-3＆＃34;到＆＃34; p-1＆＃34;）并将有效数乘以1/4，得到0x0.66666666666668p-1 。然后添加0x1.6666666666666p-1和0x0.66666666666668p-1，给出0x1.ccccccccccccc8p-1。注意，这个数字在有效数字中有超过53位：＆＃34; 8＆＃34;是期后的第14位数。浮点数不能返回具有这么多位的结果，因此必须将其四舍五入到最接近的可表示数字。在这种情况下，有两个数字同样接近，0x1.cccccccccccccp-1和0x1.ccccccccccccdp-1。当存在平局时，使用有效数字的最低位中具有零的数字。＆＃34; C＆＃34;是偶数和＆＃34; d＆＃34;很奇怪，所以＆＃34; c＆＃34;用来。添加的最终结果是0x1.cccccccccccccp-1。

接下来，将.1（0x1.999999999999ap-4）的编号添加到该编号。同样，我们扩展以使指数匹配，因此0x1.999999999999ap-4变为0x.33333333333334p-1。然后将其添加到0x1.cccccccccccccp-1，给出0x1.fffffffffffff4p-1。舍入到53位给出0x1.fffffffffffffp-1，这是.7+.2+.1的最终结果。

现在考虑.7+.1+.2。对于.7+.1，添加0x1.6666666666666p-1和0x1.999999999999ap-4。回想一下后者缩放到0x.33333333333334p-1。那么确切的总和是0x1.99999999999994p-1。舍入到53位给出0x1.9999999999999p-1。

然后添加.2（0x1.999999999999ap-3）的数字，该数字缩放为0x0.66666666666668p-1。确切的总和是0x2.00000000000008p-1。浮点有效数字总是按1开始缩放（特殊情况除外：可表示范围底部的零，无穷大和非常小的数字），因此我们将其调整为0x1.00000000000004p0。最后，我们舍入到53位，给出0x1.0000000000000p0。

因此，由于舍入时出现错误，.7+.2+.1返回0x1.fffffffffffffp-1（略小于1），.7+.1+.2返回0x1.0000000000000p0（正好为1）。

Answer 3

浮点乘法在C或C ++中不是关联的。

证明：

#include<stdio.h>
#include<time.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
int main() {
    int counter = 0;
    srand(time(NULL));
    while(counter++ < 10){
        float a = rand() / 100000;
        float b = rand() / 100000;
        float c = rand() / 100000;

        if (a*(b*c) != (a*b)*c){
            printf("Not equal\n");
        }
    }
    printf("DONE");
    return 0;
}

在此计划中，约有30％的时间(a*b)*c不等于a*(b*c)。

Answer 4

与 Eric 的类似答案，但用于添加和 Python。

import random

random.seed(0)
n = 1000
a = [random.random() for i in range(n)]
b = [random.random() for i in range(n)]
c = [random.random() for i in range(n)]

sum(1 if (a[i] + b[i]) + c[i] != a[i] + (b[i] + c[i]) else 0 for i in range(n))

浮点加法和乘法是否相关？

4 个答案: