Question

我有一组点（具有未知坐标）和距离矩阵。我需要找到这些点的坐标，以便绘制它们并显示我的算法的解决方案。

我可以在坐标（0,0）中设置其中一个点来简化，并找到其他点。任何人都可以告诉我是否有可能找到其他点的坐标，如果是，怎么做？

提前致谢！

EDIT 忘了说我只需要x-y上的坐标

Answer 1

基于角度的答案实施起来很麻烦，并且不能容易地推广到更高维度的数据。更好的方法是我和WimC的答案here中提到的：给定距离矩阵D(i, j)，定义

M(i, j) = 0.5*(D(1, j)^2 + D(i, 1)^2 - D(i, j)^2)

应该是一个正半正定矩阵，其等级等于可以嵌入点的最小欧几里得维k。然后，可以从对应于非零特征值k的{{1}}的{{1}}特征向量v(i)获取点的坐标：将向量M作为列放置在q(i)矩阵中sqrt(q(i))*v(i);那么n x k的每一行都是一个点。换句话说，X给出了所有点的X分量。

矩阵的特征值和特征向量可以在大多数编程语言中轻松获得（例如，在C / C ++中使用GSL，在Matlab中使用内置函数sqrt(q(i))*v(i)，在Python中使用Numpy等）

请注意，此特定方法始终将第一个点放在原点，但点的任何旋转，反射或平移也将满足原始距离矩阵。

Answer 2

步骤1，任意将一个点P1指定为（0,0）。

步骤2，沿正x轴任意分配一个点P2。（0，Dp1p2）

步骤3，找到点P3，使其

Dp1p2 ~= Dp1p3+Dp2p3
Dp1p3 ~= Dp1p2+Dp2p3
Dp2p3 ~= Dp1p3+Dp1p2

并在“正”y域中设置该点（如果满足任何这些条件，则该点应放在P1P2轴上。）
使用余弦定律来确定距离：

cos (A) = (Dp1p2^2 + Dp1p3^2 - Dp2p3^2)/(2*Dp1p2* Dp1p3)
P3 = (Dp1p3 * cos (A), Dp1p3 * sin(A))

您现在已经成功构建了一个正交空间，并在该空间中放置了三个点。

步骤4：要确定所有其他点，请重复步骤3，为您提供暂定的y坐标。（Xn，Yn）。
比较矩阵中的距离{（Xn，Yn），（X3，Y3）}和Dp3pn。如果它相同，则表示您已成功识别点n的坐标。否则，点n为（Xn，-Yn）。

请注意，有一个替代步骤4，但是周六下午的数学太多了

Answer 3

如果点p，q和r在矩阵中有pq，qr和rp，则表示你有一个三角形。

无论矩阵中有三角形，您都可以计算该三角形的两个解之一（与平面上三角形的欧氏变换无关）。也就是说，对于您计算的每个三角形，它的镜像也是满足p，q和r的距离约束的三角形。即使对于三角形存在两种解决方案这一事实也会导致手性问题：您必须选择每个三角形的手征（方向），并非所有选择都可能导致问题的可行解决方案。

尽管如此，我有一些建议。如果数字条目很小，请考虑使用simulated annealing。您可以将手性纳入退火步骤。对于大型系统来说这将是一个缓慢的过程，它可能无法收敛到一个完美的解决方案，但对于某些问题，它是你做得最好的。

第二个建议不会给你一个完美的解决方案，但会分发错误：method of least squares。在您的情况下，目标函数将是矩阵中距离与点之间的实际距离之间的误差。

Answer 4

这是一个数学问题。导出仅由距离矩阵给出的坐标矩阵X.

然而，有一个有效的解决方案 - 多维缩放，做一些线性代数。简单地说，它需要成对的欧几里德距离矩阵D，输出是估计的坐标Y（可能是旋转的），这是X的近似。出于编程原因，只需在Python中使用SciKit.manifold.MDS。

从距离矩阵中寻找点的坐标

4 个答案: