具有约束的二分图中的最大权重匹配

Question

假设我们有两组：A =（a_1，a_2，...，a_m）和B =（b_1，b_2，...，a_n）（不一定具有相同的大小）。函数F为从集合A到集合B的每个链路分配权重：F：A * B-> R。因此，例如，F（a_1，b_1）= 2表示a_1和b_1之间的链接权重为2。 问题是将集合A的元素连接到集合B的元素，以便最大化满足这些约束的链接权重之和：

• 集合A的元素必须与集合B中的一个元素完全匹配。
• 允许集合B的元素具有零个或多个匹配（0,1,2 ...），但是对于B的元素存在对权重之和C_i的约束。即，如果我们选择连接a_1对于b_1和a_2至b_1，权重F（a_1，b_1）+ F（a_2，b_1）的总和应小于或等于C_1。这个约束适用于B的所有元素。

我已经搜索了一些想法，我研究了分配问题和匈牙利算法。另外一点是，这些都不考虑我的第二个约束。您对如何解决这个问题有任何想法吗？

由于

Answer 1

这是NP难的。

取一个子集和实例{x ₁ ，x ₂ ，...，x _n }，其中x _我＆gt; 0和数字k。创建一个二分图，其中左顶点为{a ₁ ，...，a _n }，右顶点为{b ₁ ，b < sub> 2 }，并且：

F（a _i ，b ₁ ）= x _i

F（a _i ，b ₂ ）= 0

C ₁ = k

C ₂ = 0

因此，您可以通过将 _i 与b ₁ 连接来取数字x _i ，并通过连接b _{保留它2 。显然，如果子集求和实例有解，则存在权重k匹配。}