用于找到移动成本最小化的点的算法

Question

在2d网格中有n个点。要求是将所有这些点（n-1个点）中的一个项目移动到单个点（在n个点的集合中），以便将所有项目移动到该点的成本将是最小的。如果有多个这样的点，那么我们可以随机选择任意点。移动成本计算如下。

费用计算公式

  

如果(x,y)中有一个点，那么将对象从(x,y)移动到所有8个相邻点{(x+1,y),(x+1,y+1),(x,y+1),(x-1,y+1),(x,y-1),(x-1,y-1),(x,y-1),(x+1,y-1)}所需的成本是1个单位

有人可以为此建议任何O（N）算法吗？我已经尝试过O（N2）算法（比如拿每对并计算成本）。

Answer 1

听起来您想要将所有点移动到“中心”，其中中心被定义为具有最小总成本值的点。对于三点，我认为答案是靠近三角形的质心。质心是我们通过简单地平均所有3个x值和所有三个y值得到的点。

扩展超过三点，我认为平均得分是正确答案或接近正确答案。如果你在点之间使用欧几里德距离公式，那么我相当肯定你寻求的点只是平均值。但是你正在使用一些改进的出租车驾驶室几何形状，这使得45度角度比它应该的“更少”。根据您的定义，从（0,0）到（5,5）的成本是5，而不是使用标准几何的5 sqrt（5）（大约多40％）。但对于水平或垂直移动，指标是相同的。那么从我的快速猜测中找到正确答案的距离是多远？如果你可以在半径上获得一些合法性，那么我建议使用这个算法：

• 计算机平均点数（在O（n）时间内运行）

  C = new Point(average(xVals), average(yVals))

• 计算机半径 - 从快速的欧几里德答案中得出真正答案的距离。
• 考虑该半径中的所有点，看看它们的总成本是否低于C.

这最后一项在O（r ^ 2）中运行，只要你能证明r远小于n，你就有了一个很好的解决方案。

Answer 2

我认为您可以在线性时间内计算n个点的质心，然后在线性时间内计算到质量中心的最近点。

获得群众中心：

center = points[0];
for (int i=1; i<points.length; ++i) {
  center = massCenter(center, i+1, points[i]);
}

Point massCenter(Point currCent, int weight, Point p) {
  double x = (currCent.x * weight + p.x)/(weight+1);
  double y = (currCent.y * weight + p.y)/(weight+1);
  return new Point(x, y);
}

为了正确计算中心，我假设了一个双坐标。

Answer 3

我的猜测是O（n）解决方案是不可能的。如果输入数据集的所有点都接近圆形，那么算法似乎必须检查每个点以查看它是否是最佳解决方案。

现在，可能有很好的算法来处理与n成比例的“正常”情况 用于排序最佳优先搜索点的O（N log N）启发式算法似乎很可能。 A-star甚至可能成为可能，但似乎更难。