Question

我正在为离散数学设计一个类库，我想不出实现infinite set的方法。

到目前为止我所拥有的是：我有一个抽象基类Set，它实现了接口ISet。对于有限集，我派生出一个有限集类，它实现了每个集合方法。我可以这样使用它：

FiniteSet<int> set1 = new FiniteSet<int>(1, 2, 3);
FiniteSet<int> set2 = new FiniteSet<int>(3, 4, 5);
Console.WriteLine(set1); //{1, 2, 3}
Console.WriteLine(set2); //{3, 4, 5}

set1.UnionWith(set2);
Console.WriteLine(set1); //{1, 2, 3, 4, 5}

现在我想代表一个无限集。我有从set，InfiniteSet派生另一个抽象类的想法，然后使用该库的开发人员必须从InfiniteSet派生来实现他们自己的类。我会提供常用的集合，例如N，Z，Q和R.

但是我不知道我是如何实现像Subset和GetEnumerator这样的方法 - 我甚至开始认为这是不可能的。如何以实际方式枚举无限集，以便可以将它与另一个无限集相交/联合？如何在代码中检查N是R的子集？至于基数问题..那么，这可能是一个单独的问题。

这一切使我得出的结论是，我实现无限集的想法可能是错误的方法。我非常感谢你的意见:)。

编辑：为了清楚起见，我也想代表无数的无限集。

Edit2：我认为重要的是要记住最终目标是实现ISet，这意味着任何解决方案都必须提供（应该）实现所有ISet's methods的方法，其中最有问题的是枚举方法和IsSubsetOf方法。

Answer 1

无法完全实现ISet<T>无数无限集。

这是一个证据（由Bertrand Russell提供）：

假设您已经创建了一个类MySet<T>，它可以表示无数的无限集。现在让我们考虑一些MySet<object>个对象。

我们标记了一个特定的MySet<object>，称之为instance，“异常”如果：

instance.Contains(instance)返回true。

同样，如果符合以下条件，我们会将instance标记为“ normal ”：

instance.Contains(instance)返回false。

请注意，这种区别是针对所有instance明确定义的。

现在考虑一个名为MySet<MySet<object>>的{{1}}实例。

我们将paradox定义为paradox，其中包含MySet<MySet<object>>的所有普通实例。

MySet<object>应该返回什么？

如果它返回paradox.Contains(paradox)，则true 异常，并且在自行调用时应该返回paradox。

如果它返回false，那么false 正常，并且在自己调用时应该返回paradox。

无法实施true来解决此悖论，因此无法为所有可能的不可数集合全面实施Contains。

现在，如果您将ISet<T>的基数限制为等于或小于连续体（| R |）的基数，那么您将能够绕过这个悖论。

即使这样，你也无法实现MySet<T>或类似的方法，因为这样做会等同于解决暂停问题。（请记住，所有Contains程序的集合的基数等于| Z |＆lt; | R |。）

修改

为了更加彻底，这里是对我的断言的解释，“这样做将等同于解决停止问题。”

考虑由所有C＃程序（作为字符串）组成的C#，它在有限的时间内停止（假设它们为任何输入停止，确切地说）。称之为MySet<string>。该集合是*递归可枚举的“，这意味着你可以在其上实现paradox2（不容易，但它是可能的。）这也意味着它被很好地定义。但是，这个集合不是”可判定的“，因为它补语不是递归可枚举的。

按如下方式定义C＃程序：

GetEnumerator

编译上述程序，并将其作为输入传递给自己。会发生什么？

如果您的using ... //Everything; public static class Decider { private MySet<string> _haltingSet = CreateHaltingSet(); static void Main(string [] args) { Console.WriteLine(_haltingSet.Contains(args[0])); } }方法已正确实施，那么您已解决了暂停问题。但是，我们知道这是不可能的，因此我们只能得出结论，即使对于可数无限的集合，也无法正确实现Contains，。

您可以限制Contains班级适用于所有decidable sets.但是，您仍然会遇到各种问题从不停止有限的时间。

作为一个例子，让我们假装我们有一个名为MySet<T>的任意精度实数类型，让我们让Real成为nonHalting的一个实例，其中包含所有非平凡的零。 Riemann Zeta函数（这是一个可判定的集合）。如果你能够在MySet<Real>上正确实现IsProperSubsetOf以在有限的时间内返回，当通过所有复数的集合与实部1/2（也是可判定集）时，那么你将获胜一个Millennium Prize.

Answer 2

你将不得不概括Set的意思。

如果您将拥有无限集，则无法对其进行有意义的枚举，因此您不会使用枚举操作来定义集合运算。

如果您根据Set<f>方法定义bool IsMember(f obj)，则可以将其用于无限集。

您可以将两个集合的并集或交集定义为两个集合的逻辑和/或IsMember方法。

Answer 3

代表无数无限集

让我们在实践中如何完成这一陈述。例如，当询问天气时，集合A是集合Z（正整数）的子集，主题不是Z.Z中的每个数字都不被分析。分析的是有问题的集合A.因为没有办法比较Ak（一个子k，其中k是1和| A |之间的数字）与Z（无限）的每个值，所以A的每个值必须是与构成Z的属性相比较。如果A中的每个值都满足Z的属性，则A是Z的子集。

如何在代码R union N

中表示

与上述相同的过程。 R的属性是“任何实数” - 在代码中，这可能是“任何不会抛出异常的双重”（显然Math.Pow(-1,.5)会产生问题，因此不会出现在R中）。 N的属性是“任何整数” - 在代码中，这可以是Math.Floor！= Math.Ceiling的任何数字。这两者的结合是它们的属性的结合。任何符合R或N属性的数字 - 在代码中，这将是任何不会抛出异常的数字，以创建或，其中Math.Floor！= Math.Ceiling。

<强>摘要

要表示不可数的无限集，请使用它们的属性而不是它们的值。

编辑

N⊆R？

让我们回到属性的想法，因为这是我追求的主题。 N是R的子集吗？要使N成为R的子集，则N的属性必须满足R的属性的所有。属性列表需要准确。为了表示无穷大的数值，我建议使用一个包含可空int数和普通int符号的类。

public class Infinite
{
 public int? Number { get; set; }
 public int Sign { get; set; }
}

这些方面的东西。 Number.Value == null意味着无限。符号可用于显示负（-1），+ - （0）或正（1）。

回到R情境的N子集。除了前面列出的属性之外，N还将Infinite.Number == null和Infinite.Sign == 0作为其属性的边界。就像R.所以，N能够满足边界属性。接下来将是上面定义的属性。我实际上被困在这里。我不知道如何在代码中证明.Floor == .Ceiling的每个数字都不会导致异常。然而，由于这些类型的超集（Rational，Irrational，Integer，Real，Complex，Imaginary，Transcendental，Algebraic，Natural）中只有9种，你可以在无限范围内专门定义它们的相互作用，然后使用更简单的有限实现比较。

Answer 4

你究竟打算用它做什么。你无法枚举它。

我认为我将其视为普遍集的后代。

我想我会从另一端开始

定义一个通用集，其中Ismember始终为true 然后是IsMember为真的后代，如果它是自然数的表示 {1,2,3,4}是N的进一步限制

无论如何想到

Answer 5

这可能有很多限制，就像符号表达式处理一样。

这是一个小例子：

class IntSet
{
    int m_first;
    int m_delta;

    public IntSet(int first, int delta)
    {
        m_first = first;
        m_delta = delta;
    }

    public override string ToString()
    {
        StringBuilder sb = new StringBuilder();

        sb.Append('[');
        sb.Append(m_first);
        sb.Append(',');
        sb.Append(m_first + m_delta);
        sb.Append(',');
        sb.Append("...");
        sb.Append(']');

        return sb.ToString();
    }

    public IEnumerable<int> GetNumbers()
    {
        yield return m_first;

        int next = m_first;

        while (true)
        {
            next += m_delta;

            yield return next;
        }
    }
}

如何实现无限集类？

5 个答案: