运行时间t（n）= t（n-2）+（n-2）²

Question

有人能告诉我以下解决方案是否正确？

我正在尝试计算 t（n）= t（n-2）+（n-2）²的运行时间

进一步评估

=＆GT; t（n）= t（n-4）+（n-2）²+n²

=＆GT; t（n）= t（n-6）+（n-6）²+（n-2）²+n²

...因为它减少了2，它将有大约n / 2项并扩展所有方格 我们有（n / 2）*（n²）等于n³。所以运行时间是 theta（n³）

这是正确的解决方案吗？

Answer 1

是的，以上是完全正确的（根据问题定义，第一行的小例外应该是t(n) = t(n-4) + (n-4)^2 + (n-2)^2，并纠正以下内容 - 但它不会影响渐近结果）。

为了证明这一点，我们可以使用mathematical induction：

Claim: t(n) <= n^3
base: T(2) = 2 (assumption - otherwise we'll get stuck)
let's assume the assumption is true for each n<k for a certain k.
t(k) = t(k-2) + (k-2)^2 <= (k-2)^3 + (k-2)^2 = 
     = k^3 -6k^2 + 12k -8 + k^2 - 4k + 4
     = k^3 -5k^2 + 8k - 4

剩下的就是显示5k^2 >= 8k - 4，我们就完成了。这个等式适用于每个k>=2 - 证明它是精确的。

从上面我们可以导出t（n）在O(n^3)。使用类似的方法我们可以显示它也在Omega(n^3)中，因此它是Theta(n^3)

Answer 2

Using this online calculator你可以看到Θ（n ^ 3）。

正如我想的那样，右乘法会产生Θ（n ^ 3）。