Question

让[a_1 a_2 ... a_n]成为[1,10n]范围内不同整数的列表。如果有三个不同的元素true，则提供返回x,y,z的算法，否则-1 <= x+y-z <= 1和false。

强力算法（检查x+y-z的所有可能组合，及时运行O(n^3)。是否有更高效的算法？

Answer 1

是的，有。以下是使用O(n^2)额外空间的O(n)最差情况算法。

想法是检查所有可能的对（而不是三元组），并迭代地标记您已经看到的元素，并将它们与每对的总和进行比较。
对于每一对，检查其总和是否具有匹配元素，该元素恰好是总和（x+y-z == 0）或者如果添加1（x+y+1-z == 0 -> x+y-z = -1）可以获得的元素，或者您可以访问你减少1（x+y-1-z == 0 -> x + y - z == 1）

伪代码：

mark = new boolean[10n]; //all initialized to false
sort arr //O(nlogn)
for each i in n,1: (reverse order)
   for each j in 1,i-1:
      //neglected range check, make sure it is done
      if (mark[arr[i]+arr[j]] || mark[arr[i]+arr[j]+1] || mark[arr[i]+arr[j]-1]):
          return true
      mark[arr[i]] = true
return false

请注意，我们将i从n迭代到1，因为z > x和z > y - 我们要确保我们检查所有已使用元素的对在列表中，如果它在那里

正确性证明：
如果有解x+y-z = 0 - 那么z > x和z > y（所有元素都是正不同的整数）。
不失一般性，我们假设x > y。因此，在外部循环中迭代arr[i]=x时，有j<i个arr[j]=y。此外，自z>x - mark[z] == true以来 - 因为我们在之前迭代它时标记了它。
因此：该算法将找到mark[arr[x] + arr[y]] == true，并产生true。。+-1个案的类似证明。

如果算法产生了真，那么它发现其中一个条件为真。我们假设它是mark[arr[i] + arr[j]]（其他案例的证据将类似）。
所以，我们发现了mark[arr[i] + arr[j]] == true - 所以我们插入了它，因为有一些元素z使得z = arr[i] + arr[j]，并且算法对于这种情况是正确的。

x + y-z介于-1和1之间

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