二元柜台摊销分析

Question

我猜你已经知道如果数组中的所有条目都从0开始，并且每一步我们将计数器递增1（通过翻转0和1），那么k增量的摊余成本是O（k）。 / p>

但是，如果Array以n开头会发生什么？我认为k增量的复杂度现在可能是O（log（n）+ k），因为在开始时1的最大数量是log（n）。

有什么建议吗？

提前致谢

Answer 1

你是对的。证明这一点的方法不止一种，其中一种方法具有潜在的功能。 This link（和许多其他人）解释了潜在的方法。但是，教科书通常要求潜在函数的初始值为0.让我们概括一下它不是的情况。

对于二进制计数器，计数器的潜在功能是设置为1的位数。当你增加时，你花费k + 1时间将k 1翻转为0并将0翻转为1.潜在的减少k -1。所以这个增量的摊销时间= ActualTime +（PotentialAfter-PotentialBefore）= k + 1-（k-1）= 2（常数）。

现在查看维基百科链接中的“摊销与实际时间之间的关系”部分。

TotalAmortizedTime = TotalActualTime + SumOfChangesToPotential

由于SumOfChangesToPotential是伸缩式的，因此它等于FinalPotential-InitialPotential。所以：

TotalAmortizedTime = TotalActualTime + FinalPotential-InitialPotential

给出了：

TotalActualTime = TotalAmortizedTime - FinalPotential + InitialPotential <= TotalAmortizedTime + InitialPotential

因此，正如你所说，从n开始的k个增量序列的总时间是O（log n + k）。