如何在Galois域中找到矩阵的行级？

Question

Matlab具有内置函数，用于计算具有十进制数字的矩阵的秩以及有限字段数。但是，如果我没有错，他们只计算最低等级（行等级和列等级最少）。我想只计算行等级，即找到矩阵的独立行数（在我的例子中是有限域）。是否有功能或方法来做到这一点？

Answer 1

在线性代数中，列排名和行排名 始终 相等（请参阅proof），因此只需使用rank
（如果你计算的是伽罗瓦域上矩阵的等级，可以考虑改用gfrank，就像@DanBecker在他的评论中所建议的那样）：

实施例

>> A = [1 2 3; 4 5 6]

A =
    1   2   3
    4   5   6

>> rank(A)
ans =
    2

也许所有三列似乎都是线性独立的，但它们依赖于：

[1 2; 4 5] \ [3; 6]
ans =
    -1
     2

表示-1 * [1; 4] + 2 * [2; 5] = [3; 6]

Answer 2

施瓦茨，

两条评论：

1. 你在评论中说：“等级函数在Galois领域也能正常工作！”我不认为这是正确的。考虑gfrank的文档页面上给出的示例：

   A = [1 0 1;
      2 1 0;
      0 1 1];
   gfrank(A,3) % gives answer 2
   rank(A) % gives answer 3
   

   但我有可能误解了事情！

2. 你还说过“如何检查矩阵的行是否是线性独立的？我上面发布的解决方案是否合法，即每一行并逐一查找所有其他行的排名？ “

   我不知道你为什么说“一个接一个地找到所有其他行的排名”。可以具有一组矢量，这些矢量是成对线性独立的，但是线性地依赖于作为一组。只需考虑向量[0 1]，[1 0]，[1 1]。没有向量是任何其他向量的倍数，但该集合不是线性独立的。

   你的问题似乎是你有一组你知道是线性独立的向量。您向该集添加向量，并想知道新集是否仍然是线性独立的。正如@EitanT所说，您需要做的就是将（行）向量组合成一个矩阵，并检查其rank（或gfrank）是否等于行数。无需“一个接一个”地做任何事情。

   由于您知道“旧”集是线性独立的，因此可能有一个很好的快速算法来检查新向量是否使线性依赖。也许在每个步骤中，您将该集合正交化，并且可能会在给定新向量更快的情况下检查线性独立性的过程。这可能会成为一个有趣的问题，比如mathoverflow。