Question

有矩阵M * N.矩阵元素是黑色或白色。我们将相同颜色的相邻元素称为区域。您可以选择任何区域和翻转其颜色（即更改其所有元素的颜色）。鉴于这样的矩阵，找到使整个矩阵为黑色或白色所需的最小数量的翻转。

解决方案：它看起来像图形问题。矩阵元素是图顶点。如果对应的矩阵元素是“邻居”并且具有相同的颜色，则连接顶点。答案是图中连接组件的数量。

有意义吗？

修复解决方案：感谢@ypercube和@Billiska，解决方案应修复如下：

查找连接的组件（如上所述）并考虑这些组件的图表。
找到图center，翻转图表，制作新图表，然后重复，直到图表只包含一个顶点。

我们仍需要证明，翻转图表中心会使翻转次数变得最小。

Answer 1

您提出了解决方案：

它看起来像一个图形问题。矩阵元素是图顶点。如果对应的矩阵元素是“邻居”并且具有相同的颜色，则连接顶点。答案是图中连接组件的数量。

改善：

然后必须找到“黑色”和“白色”连接组件的数量，并选择两者中最小的组件。

这似乎相当不错，但答案并不像最初看起来那么简单。考虑这个矩阵，其中有13个黑色连接组件和4个白色组件。：

B w B w B w B w B
w w w w B w w w w
B w B B B B B w B
w w B B B B B w w
B B B B B B B B B  
w w B B B B B w w
B w B B B B B w B
w w w w B w w w w
B w B w B w B w B

最小的解决方案只有2个动作。首先翻转（到白色）中央大黑色组件。结果，翻转的一个和4个白色组件现在连接成一个组件。翻转为黑色，所有电路板都是黑色。

因此，在这种情况下，最小值只有2次，而不是4次。

因此，在建立连接（黑色和白色组件）之后，我们有一个这些组件之间的连接图（如@ Biliska的答案）。以下是上述矩阵的图表：

        B
        |
     B--w--B
        |
    B   |   B
    |   |   |
B---w---B---w---B
    |   |   |
    B   |   B
        |
     B--w--B
        |
        B

我们现在需要找到图表的 center ，或者只是其中一个中心点，例如：节点A，其中与其他节点B的最大距离d（A，B）最小（并且该最小最大距离有时称为“偏心率”）。从图中可以明显看出，对于上图，只有一个中心点，“偏心率”为2。

当偏心率为n时，至少有一条长度为2n-1或2n（2n或2n+1个节点的“最大”路径）。在我们的案例中：

B-w-B-w-B

由于这些图中的节点在任何路径中都是连续的黑白，因此不难证明所需的最小变化是n（在这种情况下为2），并且可以通过始终更改中心来实现区域。

Answer 2

此问题可以shortest path problem解决。

将问题建模为状态图G=(V,E)，其中V = possible states (matrix states)和E = { (u,v) | can move from state u to state v with single "flip" }

现在，一旦你有了图表 - 你所要做的就是使用一些最短路径算法。

由于图表未加权 - 您可以使用BFS作为最短路径算法。如果您可以找到一些admissible heuristic function - 您也可以使用A* algorithm - 使用下降启发式预计会更快。

Answer 3

首先，你试图将问题建模为单元格的连接图，而事实上你应该将问题建模为区域的连接图

为了exapmle

b w b w b
w b b w b
w w b b w

转换为区域符号：

1 2 3 4 5
6 3 3 4 5
6 6 3 3 7

更好地表示为：

1 - 2   4 - 5
|   | /     |
6 - 3 - - - 7

现在接下来要做的就是重复执行flip操作以合并区域。我不确定是否贪婪地翻转大多数连接的区域是否正确。

例如，我首先翻转区域3，因为它有4个连接。然后我得到：

1       5
  \   /
   (3)

然后再次翻转区域3，因为它有2个连接：

(3)

完成

因此，您可以看到flip操作具有将所有相邻节点合并到正在翻转的节点的效果。

编辑：事实上，大多数连接的贪婪翻转区域并不是最佳的。以我之前评论的一维示例为例。

输入：

             middle
                v
b w b w b w b w b w b w b w b w b
<---4 times--->   <---4 times--->

您可以看到任何区域的连接数最多为2级。但最有效的算法只会选择翻转中间区域。

谜语：如何改变矩阵颜色？

3 个答案: