Question

我有一个堆（像二叉树一样实现：每个节点有两个指向子节点的指针和一个指向父节点的指针）。

如果有元素的数量，我如何找到第k个元素（按照BFS顺序）？我认为可以在O（logn）时间内完成..

Answer 1

（我假设“kth元素（以BFS顺序）”，你的意思是从输入的从上到下，从左到右扫描的角度来看第k个元素。）

因为你知道二进制堆是一个完整的二叉树（除了可能在最后一级），你知道树的形状是一个高度的完美二叉树（包含2 ^k某些k）的节点，从左到右填充了一些节点。当你写出图片中节点的数量时，会发生这些树的一个非常漂亮的属性，一个索引值：

                      1
            2                3
        4       5        6       7
       8 9    10 11    12 13   14 15

请注意，每个图层都以一个2的幂为节点开头。因此，假设你假设你想要查找数字13.两个不大于13的最大幂是8，所以我们知道13必须出现在行中

  8  9 10 11 12 13 14 15

我们现在可以使用这些知识来反向设计从13回到树的根的路径。例如，我们知道13在这一行的数字的后半部分，这意味着13属于根的右子树（如果它属于左子树，那么我们将在包含子树的子树中8,9,10和11.）这意味着我们可以从根目录直接扔出一半的数字来获得

12 13 14 15

我们现在在树的节点3。那我们左转还是右转？好吧，13在这些数字的前半部分，所以我们知道在这一点上我们需要下降到节点3的左子树。这将我们带到节点6，现在我们留下了前半部分数：

12 13

13位于这些节点的右半部分，因此我们应该向右下降，将我们带到节点13.并且瞧！我们在那里！

那么这个过程是如何运作的？好吧，我们可以使用一个非常非常可爱的技巧。让我们写出我们上面的相同树，但是二进制：

                        0001
            0010                    0011
      0100        0101        0110        0111
   1000  1001  1010  1011  1100  1101  1110  1111
                                 ^^^^

我已经指出了节点13的位置。我们的算法以下列方式工作：

找到包含节点的图层。
虽然不在相关节点：
1. 如果节点位于图层的前半部分，则向左移动并扔掉范围的右半部分。
2. 如果节点位于图层的后半部分，则向右移动并扔掉范围的左半部分。

让我们考虑一下这对二进制文件意味着什么。查找包含节点的图层等效于查找数字中设置的最高有效位。在具有二进制表示1101的13中，MSB是8位。这意味着我们在以8开头的层中。

那么我们如何确定我们是在左子树还是右子树？那么，要做到这一点，我们需要看看我们是在这一层的前半部分还是在下半部分。现在换一个可爱的技巧 - 看看MSB之后的下一位。如果此位设置为0，则我们处于范围的前半部分，否则我们处于范围的后半部分。因此，我们只需查看数字的下一位即可确定我们所在范围的哪一半！这意味着我们可以通过查看数字的下一位来确定要进入哪个子树。

一旦我们完成了，我们就可以重复这个过程。我们在下一个级别做什么？好吧，如果下一位是零，我们向左走，如果下一位是一位，我们走右边。看看这对13意味着什么：

 1101
  ^^^
  |||
  ||+--- Go right at the third node.
  ||
  |+---- Go left at the second node.
  |
  +----- Go right at the first node.

换句话说，我们可以通过查看MSB之后的数字位来拼出从树根到我们节点的路径！

这总是有效吗！你打赌！让我们尝试数字7.这有二进制表示0111.MSB在4的位置。使用我们的算法，我们会这样做：

0111
  ^^
  ||
  |+--- Go right at the second node.
  |
  +---- Go right at the first node.

看看我们的原始图片，这是正确的道路！

这是该算法的一些粗略的C / C ++伪代码：

Node* NthNode(Node* root, int n) {
    /* Find the largest power of two no greater than n. */
    int bitIndex = 0;
    while (true) {
        /* See if the next power of two is greater than n. */
        if (1 << (bitIndex + 1) > n) break;
        bitIndex++;
    }

    /* Back off the bit index by one.  We're going to use this to find the
     * path down.
     */
    bitIndex--;

    /* Read off the directions to take from the bits of n. */
    for (; bitIndex >= 0; bitIndex--) {
        int mask = (1 << bitIndex);
        if (n & mask)
            root = root->right;
        else
            root = root->left;
    }
    return root;
}

我还没有测试过这段代码！为了解释Don Knuth，我刚刚从概念上证明了它是正确的。我在这里可能会有一个错误的错误。

这段代码的速度有多快？好吧，第一个循环运行，直到它找到大于n的两个第一个幂，这需要O（log n）时间。循环的下一部分一次向后计数n个位，在每一步执行O（1）工作。因此，整体算法总共需要 O（log n）时间。

希望这有帮助！

堆树中的第K个元素

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