径向梯度方程

Question

鉴于：

点P，圆圈1和圆圈2的位置和半径

什么是：

T的等式，＆＃39;混合等级＆＃39;颜色1和2之间（0到1之间的值）

许多径向梯度方程仅适用于共享位置的同心圆或圆。我正在寻找与下图相匹配的东西，使用Quartz（Core Graphics）创建。我正在编写一个GLSL着色器，但我需要先理解数学。

Answer 1

如果这是2D，那么您可以将您的点所在的圆的参数写为：

x3=T*x1+(1-T)*x2
y3=T*y1+(1-T)*y2
r3=T*r1+(1-T)*r2

编辑：当然，该圈子可以表示为：

(x3-xP)^2+(y3-yP)^2=r3^2

你可以将前3个方程代入最后（并记住（xP，yP）是你的点）得到1个方程，只有T作为T中的二次变量，所以很容易求解T这样做给了我们：

T=(-r2*(r1-r2)+(x1-x2)*(x2-xP)+(y1-y2)(y2-yP)
    {+-}sqrt(r2^2*((x1-xP)^2+(y1-yP)^2)-2*r1*r2*((x1-xP)*(x2-xP)
               +(y1-yP)*(y2-yP))+r1^2*((x2-xP)^2+(y2-yP)^2)
               -(x2*y1-xP*y1-x1*y2+xP*y2+x1*yP-x2*yP)^2))
 /((r1-r2)^2-(x1-x2)^2-(y1-y2)^2)

我知道这有点难以阅读，但实际上数学上并不是那么糟糕。它只是加法，乘法和平方（实际上只是乘法）。