Question

这是我想解决的问题，

您将获得一个包含2行和N列的表格。每个单元格中都有一个整数。分数   这样的表的定义如下：对于每列，考虑两个数字的总和   在专栏中;如此获得的N个数的最大值是得分。例如，对于   表

7 1 6 2
  1 2 3 4

得分为max（7 + 1; 1 + 2; 6 + 3; 2 + 4）= 9。   表的第一行是固定的，并作为输入给出。第二种可能的方法   行被认为是：

1; 2; ::: ;; ñ
  2; 3; ::: ;; N; 1
  3; 4; ::: ;; N; 1; 2
  |
  N; 1; ::: ;; ; N 1


例如，对于上面的示例，我们将以下各项视为第二行的可能性。

1 2 3 4
  2 3 4 1
  3 4 1 2
  4 1 2 3


您的任务是找到第二行上述每个选项的分数。在里面   上面的示例，您将评估以下四个表，

7 1 6 2
  1 2 3 4
  7 1 6 2
  2 3 4 1
  7 1 6 2
  3 4 1 2
  7 1 6 2
  4 1 2 3
  并分别计算得分9,10,10和11

测试数据：N <= 200000
  时间限制：2秒

这是一个显而易见的方法：

维护两个阵列A，B，执行以下n次

将每个元素A [i]添加到B [i]并保留一个变量max，它存储到目前为止的最大值。
print max
循环遍历数组B [i]并将所有元素递增1，如果任何元素等于N，则将其设置为1。

此方法将花费O（n ^ 2）时间，外部循环运行N次，并且有两个内部循环，每个循环运行N次。

为了减少所花费的时间，我们可以在第一行中找到最大元素M（在线性扫描中），然后在A [i] + N <= M时移除A [i]和B [i] + 1.
因为他们永远不会是最大的。

但是这种方法在平均情况下表现可能更好，最坏情况时间仍然是O（N ^ 2）。

要在常量时间内查找max，我还考虑使用堆，堆的每个元素都有两个属性，它们的原始值和要添加的值。但是，对于n个案例中的每一个，仍然需要一个线性时间来增加堆的所有元素的待添加值。
所以时间仍然是O（N ^ 2）

我无法找到能够比N ^ 2时间更快地解决这个问题的方法，因为N的值可能非常大，因此速度太慢。
任何帮助将不胜感激。

Answer 1

还有O（n）算法。使用与之前答案中相同的观察结果：

现在考虑将第二行向左旋转时列的总和会发生什么变化（例如将其从1,2，...，N更改为2,3，...，N，1）：每列总和将增加1，除了一列总和减少N-1。

我们可以将一列总和减少N，而不是修改所有列总和，然后取最大列总和加1来查找列总和的新最大值。所以我们只需要更新一列而不是所有列。

当我们迭代第二行的可能性时，出现最大值的列只能向左移动或跳回到具有总体最大值的列。候选列是从左到右最大扫描中的临时最大值。

计算第二行（1,2，...，N）第一选择的所有总和，并将它们存储在一个数组中。
从左到右扫描找到此数组中的最大值，并记住临时最大值的位置。
在从右到左的过程中，总和现在减少了N.如果此减少过程达到最大列，请检查该数字是否小于总体最大值 - N，在这种情况下，新的最大列是总体最大值列，它将保持在那里循环的其余部分。如果该数字仍然大于步骤2中确定的先前最大值，则对于循环的其余部分，最大列将保持不变。否则，先前的最大值将成为新的最大列。

以示例输入7,1,6,2算法运行如下：步骤1计算总和8,3,9,6 步骤2从左到右找到临时最大值：col 1中为8，col 3中为9 第3步生成从右到左遍历数组的结果

8 3 9 6 -> output 9 + 0 = 9
8 3 9 2 -> output 9 + 1 = 10
8 3 5 2 -> current max col is decreased, previous max 8 is larger and becomes current
           output 8 + 2 = 10
8 -1 5 2 -> output 8 + 3 = 11

以下是C：

#include <stdio.h>

int N;
int A[200000];
int M[200000];

int main(){
    int i,m,max,j,mval,mmax;

    scanf("%d",&N);

    for(i = 0;i < N; i++){
        scanf("%d",&A[i]);
        A[i] = A[i]+i+1;
    }

    m = 0;
    max = 0;
    M[0] = 0;

    for(i = 1;i < N; i++){
        if(A[i] > A[max]){
            m++;
            M[m] = i;
            max = i;
        }
    }

    mval = A[max] - N;
    mmax = max;

    for(i = N-1,j = 0;i >=0;i --,j++){
        printf("%d ", A[max]+j);

        A[i] = A[i] - N;

        if(i == max){
            if (A[i] < mval) {
                max = mmax;
            } else if(m > 0 && A[i] < A[M[m-1]]){
                max = M[m-1];
                m--;
            }
        }
    }

    printf("\n");

    return 0;
}

Answer 2

以下是O(n*logn)解决方案：

假设您计算第二行特定排列的所有列总和。

现在考虑将第二行向左旋转时列的总和会发生什么变化（例如将其从1,2,...,N更改为2,3,...,N,1）：每列总和将增加1，但一列除外总和减少了N-1。

我们可以将一列总和减少N，而不是修改所有列总和，然后取最大列总和加1来查找列总和的新最大值。所以我们只需要更新一列而不是所有列。

所以我们的算法是：

将第二行设置为1,2，...，N并计算每列的总和。将所有这些总和放在最大堆中。堆的根将是最大的总和。
对于{1}中的i N：
- 将N-i列对应的堆节点的值减少N。
- 新的最大列总和是堆的根加i。

每次堆更新需要O(logn)，这会导致总时间O(n*logn)。

什么是解决这个问题的更好方法？

2 个答案: