Question

在大多数语言的sqrt函数中（虽然这里我主要对C和Haskell感兴趣），是否有任何保证完美正方形的平方根将被准确返回？例如，如果我sqrt(81.0) == 9.0，那是否安全，或sqrt是否有可能返回8.999999998或9.00000003？

如果无法保证数值精度，那么检查数字是否为完美正方形的首选方法是什么？取平方根，拿地板和天花板，确保它们回到原始数字？

谢谢！

Answer 1

在IEEE 754浮点数中，如果双精度值x是非负表示数y的平方（即y * y == x且y * y的计算不涉及任何舍入，溢出或下溢），然后sqrt（x）将返回y。

这都是因为要求sqrt通过IEEE 754标准正确舍入。也就是说，对于任何 x，sqrt（x）将是与x的实际平方根最接近的两倍。那个sqrt适用于完美的正方形是这个事实的简单推论。

如果你想检查一个浮点数是否是一个完美的正方形，这是我能想到的最简单的代码：

int issquare(double d) {
  if (signbit(d)) return false;
  feclearexcept(FE_INEXACT);
  double dd = sqrt(d);
  asm volatile("" : "+x"(dd));
  return !fetestexcept(FE_INEXACT);
}

我需要依赖于asm volatile的空dd块，否则您的编译器可能会很聪明并“优化”dd的计算。

我使用了fenv.h中的几个奇怪的函数，即feclearexcept和fetestexcept。查看他们的man页面可能是个好主意。

你可能能够做的另一个策略是计算平方根，检查它是否在尾数的低26位中设置了位，并且如果有则抱怨。我在下面尝试这种方法。

我需要检查d是否为零，否则可以true返回-0.0。

编辑：Eric Postpischil建议用尾数进行黑客攻击可能会更好。鉴于上述issquare在另一个流行的编译器clang中不起作用，我倾向于同意。我认为以下代码有效：

int _issquare2(double d) {
  if (signbit(d)) return 0;
  int foo;
  double s = sqrt(d);
  double a = frexp(s, &foo);
  frexp(d, &foo);
  if (foo & 1) {
    return (a + 33554432.0) - 33554432.0 == a && s*s == d;
  } else {
    return (a + 67108864.0) - 67108864.0 == a;
  }
}

从67108864.0添加和减去a具有擦除尾数的低26位的效果。当这些位首先清楚时，我们会准确地回到a。

Answer 2

根据this paper，它讨论了证明IEEE浮点平方根的正确性：

IEEE-754二进制浮点标准算术[1]需要除法或平方的结果 root操作被计算为无限精度，和然后四舍五入到最近的两个浮点之一周围指定精度的数字无限精确的结果

由于可以精确表示为浮点的完美平方是一个整数，其平方根是一个可以精确表示的整数，因此完美平方的平方根应始终完全正确。

当然，无法保证您的代码将使用符合IEEE的浮点库执行。

Answer 3

@tmyklebu完美地回答了这个问题。作为补充，让我们看看一个可能效率较低的替代品，用于在没有asm指令的情况下测试完美的分数平方。

假设我们有一个符合IEEE 754标准的sqrt，它可以正确地舍入结果假设已经处理了异常值（Inf / Nan）和零（+/-）让我们将sqrt(x)分解为I*2^m，其中I是一个奇整数 I跨越n位：1+2^(n-1) <= I < 2^n。

如果n > 1+floor(p/2)其中p是浮点精度（例如p = 53且n> 27，则为双精度）
然后2^(2n-2) < I^2 < 2^2n。
由于I是奇数，I^2也是奇数，因此跨越＆gt; p位。
因此I不是具有此精度的任何可表示浮点的精确平方根。

但鉴于I^2<2^p，我们可以说x是一个完美的广场吗？答案显然是否定的。泰勒的扩张会给予

sqrt(I^2+e)=I*(1+e/2I - e^2/4I^2 + O(e^3/I^3))

因此，对于e=ulp(I^2)最多sqrt(ulp(I^2))，平方根正确舍入为rsqrt(I^2+e)=I ...（舍入到最近的偶数或截断或平面模式）。

因此，我们必须断言sqrt(x)*sqrt(x) == x 但上述试验是不充分的，例如，假设IEEE 754双精度，sqrt(1.0e200)*sqrt(1.0e200)=1.0e200，其中1.0e200正是99999999999999996973312221251036165947450327545502362648241750950346848435554075534196338404706251868027512415973882408182135734368278484639385041047239877871023591066789981811181813306167128854888448其第一素因数为2^613，几乎没有任何部分的一个完美的正方形... < / p>

所以我们可以结合两种测试：

#include <float.h>
bool is_perfect_square(double x) {
    return sqrt(x)*sqrt(x) == x
        && squared_significand_fits_in_precision(sqrt(x));
}
bool squared_significand_fits_in_precision(double x) {
    double scaled=scalb( x , DBL_MANT_DIG/2-ilogb(x));
    return scaled == floor(scaled)
        && (scalb(scaled,-1)==floor(scalb(scaled,-1)) /* scaled is even */
            || scaled < scalb( sqrt((double) FLT_RADIX) , DBL_MANT_DIG/2 + 1));
}

修改如果我们想限制整数的情况，我们也可以检查floor(sqrt(x))==sqrt(x)或使用sqared_significand_fits_in_precision中的脏位黑客......

Answer 4

而不是sqrt(81.0) == 9.0，请尝试9.0*9.0 == 81.0。只要平方在浮点幅度范围内，这将始终有效。

编辑：我可能不清楚“浮点数”的含义。我的意思是将数字保持在可以保持而没有精度损失的整数值范围内，对于IEEE双精度小于2 ** 53。我还预计会有一个单独的操作来确保平方根是一个整数。

double root = floor(sqrt(x) + 0.5);  /* rounded result to nearest integer */
if (root*root == x && x < 9007199254740992.0)
    /* it's a perfect square */

sqrt，完美正方形和浮点错误

4 个答案: