我正在编写一个程序来使用有限差分法求解3D Schroedinger方程。我的代码的1D和2D版本运行得很好，但在3D版本中，我发现矩阵的生成（对于那些了解QM的人来说，这是哈密顿矩阵;对于那些不知道QM的人，这并不重要）是占用最多的时间（典型网格间距的分钟数，而所有其他操作的秒数，包括最小的特征值查找器！）。
我想知道是否有人对如何更有效地编写矩阵生成有任何建议。我在下面包含了两个版本的代码：一个应该相对容易理解，然后是第二个版本遵循MATLAB的文档建议，我不应该在制作稀疏矩阵时直接索引条目，而应该制作三个向量（行和列索引及其各自的值）并从中生成稀疏矩阵。不幸的是后者根本没有帮助加快速度，因为我仍然使用一个愚蠢的三重嵌套循环，我想不出一个避免它的好方法。
delta = 0.1e-9;
Lx = 2e-9;
x = 0:delta:Lx;
Nx = length(x);
Ly = 2e-9;
y = 0:delta:Ly;
Ny = length(y);
Lz = 2e-9;
z = 0:delta:Lz;
Nz = length(z);
map = inline('((idx_x-1) * Ny*Nz) + ((idx_y-1) * Nz) + idx_z','idx_x','idx_y','idx_z','Ny','Nz'); % define an inline helper function for mapping (x,y,z) indices to a linear index
Tsparse = sparse([],[],[],Nx*Ny*Nz, Nx*Ny*Nz, 7*(Nx-2)*(Ny-2)*(Nz-2)); % kinetic part of Hamiltonian matrix: (d^2/dx^2 + d^2/dy^2 + d^2/dz^2); NOTE: we'll have 7*(Nx-2)*(Ny-2)*(Nz-2) non-zero entries in this matrix, so we get the sparse() function to preallocate enough memory for this
for idx_x = 2:Nx-1
for idx_y = 2:Ny-1
for idx_z = 2:Nz-1
Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y , idx_z , Ny, Nz) ) = -6/delta^2;
Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x+1,idx_y , idx_z , Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x-1,idx_y , idx_z , Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y+1, idx_z , Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y-1, idx_z , Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y , idx_z+1, Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y , idx_z-1, Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
end
end
end
此代码生成的矩阵沿7个对角线仅包含非零条目（并非每个对角线中的所有条目都不为零）。
以下是我尝试创建T矩阵的代码版本，其方式更接近MATLAB的文档建议我这样做：
delta = 0.1e-9;
Lx = 2e-9;
x = 0:delta:Lx;
Nx = length(x);
Ly = 2e-9;
y = 0:delta:Ly;
Ny = length(y);
Lz = 2e-9;
z = 0:delta:Lz;
Nz = length(z);
map = inline('((idx_x-1) * Ny*Nz) + ((idx_y-1) * Nz) + idx_z','idx_x','idx_y','idx_z','Ny','Nz'); % define an inline helper function for mapping (x,y,z) indices to a linear index
Iidx = zeros(7*(Nx-2)*(Ny-2)*(Nz-2),1); % matrix row indices
Jidx = zeros(7*(Nx-2)*(Ny-2)*(Nz-2),1); % matrix col indices
vals = zeros(7*(Nx-2)*(Ny-2)*(Nz-2),1); % matrix non-zero values, corresponding to (row,col)
cnt = 1;
for idx_x = 2:Nx-1
for idx_y = 2:Ny-1
for idx_z = 2:Nz-1
% Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y , idx_z , Ny, Nz) ) = -6/delta^2;
Iidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
Jidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
vals(cnt) = -6/delta^2;
cnt = cnt + 1;
% Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x+1,idx_y , idx_z , Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
Iidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
Jidx(cnt) = map(idx_x+1,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
vals(cnt) = 1/delta^2;
cnt = cnt + 1;
% Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x-1,idx_y , idx_z , Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
Iidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
Jidx(cnt) = map(idx_x-1,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
vals(cnt) = 1/delta^2;
cnt = cnt + 1;
% Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y+1, idx_z , Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
Iidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
Jidx(cnt) = map(idx_x,idx_y+1,idx_z,Ny,Nz);
vals(cnt) = 1/delta^2;
cnt = cnt + 1;
% Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y-1, idx_z , Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
Iidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
Jidx(cnt) = map(idx_x,idx_y-1,idx_z,Ny,Nz);
vals(cnt) = 1/delta^2;
cnt = cnt + 1;
% Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y , idx_z+1, Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
Iidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
Jidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z+1,Ny,Nz);
vals(cnt) = 1/delta^2;
cnt = cnt + 1;
% Tsparse( map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz) , map(idx_x ,idx_y , idx_z-1, Ny, Nz) ) = 1/delta^2;
Iidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z,Ny,Nz);
Jidx(cnt) = map(idx_x,idx_y,idx_z-1,Ny,Nz);
vals(cnt) = 1/delta^2;
cnt = cnt + 1;
end
end
end
Tsparse = sparse(Iidx, Jidx, vals, Nx*Ny*Nz, Nx*Ny*Nz);
提前感谢任何建议！
- dx.dy.dz
（旁注：“map”函数用于从三维坐标系（x，y，z）到一维值。假设我的特征值问题是H psi = E psi，其中H是哈密顿矩阵，psi是一个向量，E是一个标量。矩阵H = T + V（代码样本中没有显示V，只有T是）是在3D psi函数离散化并从3D折叠的基础上编写的。例如，想象一下我每个维度只有2个网格点，所以x = 1：1：2，y = 1：1：2，z = 1：1：2。然后我的汉密尔顿主义者写在基础上{psi（1,1,1），psi（1,1,2），psi（1,2,1），psi（1,2,2），psi（2,1,1），psi（2， 1,2），psi（2,2,1），psi（2,2,2）}，即它是一个8乘8的矩阵.eigs（）求解器输出的特征向量psi将是8-组件向量，如果我愿意，我可以重新形成一个2x2x2矩阵。）