从树中选择随机节点

Question

我有一个树数据结构，每个节点可以有多个子节点。所以不仅有左边和右边，还有更少甚至更多。 现在我想随机从这棵树中选择一个节点。对于每个节点，我知道有多少个孩子连接到它。但是我怎么能以随机的方式选择它们，统一会很棒。有任何想法吗？我找到了只有左右孩子的解决方案，但正如我所说，这在这里并不适用。

Answer 1

这是一个可能有用的观察：假设您以某种方式对树中的所有节点进行编号，这样就可以有效地查找某个任意n的第n个树节点。如果你能做到这一点，那么你可以通过选择一个随机节点号来高效地选择一个随机节点，然后转到那个节点。

执行此操作的一种非常简单的方法是执行树的DFS或其他遍历，并将所有节点存储在动态数组中。然后，您可以通过索引到数组中进行O（1）时间随机采样。但是，这会产生O（n）内存开销，如果树不断变化则不好。

如果树正在快速变化，则对节点进行编号的另一种方法是减少重新计算索引所需的时间，如下所示。首先对根节点0进行编号。然后，递归编号第一个子树中的节点，然后是第二个，等等。不是明确地存储这个编号，而是通过让每个树节点存储节点的总数来隐式存储它。以该节点为根的子树。这样，要查找树中的第n个节点，您可以执行以下操作：

1. 如果n = 0，则返回根节点。
2. 否则，设置n = n - 1，然后从左到右依次循环当前节点的子节点，如下所示：
   1. 设k为子树中的节点数。
   2. 如果n < k，递归地找到该子树中的第n个节点。
   3. 否则，设置n = n - k。

如果你有一个具有合理分支因子的相对平衡的树，这种方法运行得非常快，因为你可以快速丢弃不包含第n个元素的树的部分。

使用这种方法，您可以获得一个非常快的方法（尽管不是O（1））从树中选择第n个元素：选择一个随机索引，然后返回该索引处的节点。此外，即使在树中添加或删除节点，这仍然有效。无论何时插入节点，只需增加从根到该节点的路径上所有节点的计数。每当删除一个节点时，减少路径上从根到删除节点的所有节点的计数。

但是，这种方法仍然使用O（n）开销来存储计数。对于以线性时间运行的O（1）-overhead算法，请查看@ NPE基于油藏采样的出色解决方案。

希望这有帮助！

Answer 2

如果统一分布很重要，您可以遍历树并使用reservoir sampling。

但是，时间复杂度在节点数量上是线性的。