Question

我正在寻找一种方法来确定是否存在方程式解决方案，例如： 3n1 + 4n2 + 5n3 = 456 ，其中 n1，n2，n3 为正整数。

或者更一般：是零或正整数 n1，n2，n3 ......解决方程 k1n1 + k2n2 + k3n3 ... = m 其中 k1，k2，k3 ...和 m 是已知的正整数。

我不需要找到解决方案 - 只是为了确定是否存在解决方案。

修改

关于该算法的实际应用：

在通信库中，我想在处理消息之前根据其大小决定给定消息是否有效。例如：我知道消息包含零个或多个3字节元素，零个或多个4字节元素和零个或多个5个字节元素。我收到了456字节的消息，我想在进一步检查其内容之前确定其有效性。当然，消息的标题包含每种类型的元素数量，但我想通过传递类似pair<MsgType,vector<3,4,5>>的内容在通信库级别进行首次检查。

Answer 1

你问的是正则表达式

（XXX | XXXX | XXXXX）*

匹配xx ... x，其中x出现456次。

这是O（n + a ^ 2）的解决方案，其中a是左侧最小的数字（在本例中为3）。

假设你的数字是6,7,15。我将以6x + 7y + 15z“可用”的形式拨打一个可以表达的号码。您要检查给定的号码是否可用。

如果你能得到一些数字n，那么肯定你能得到n + 6，n + 12，n + 18 - 一般来说，n + 6k所有k> = 0。另一方面，如果你不能得到一些数字n，那么n-6肯定也不可用（如果你能得到（n-6），那么（n-6）+ 6 = n将可用），这意味着n-12，n-18，n-6k也不可用。

假设您已确定15可用但9则不可用。在我们的例子中，15 = 6 * 0 + 7 * 0 + 15 * 1但无法以任何方式获得9。因此，根据我们之前的推理，15 + 6k可用于所有k> = 0和9-6k，对于所有k> = 0则不是。如果你有一些除以6的数字给3作为余数（3,9,15,21，...）你可以快速回答：数字＆lt; = 9不可用，数字＆gt; = 15。< / p>

足以确定所有可能的除法余数为6（即0,1,2,3,4,5）可用的最小数量是多少。（我刚才已经证明剩余3的这个数字是15）。

怎么做：创建一个顶点为0,1,2,3,4,5的图形。对于你给出的所有数字k（7,15 - 我们忽略6），从x到（x + k）mod 6添加一条边。给它加权（x + k）div 6.使用Dijkstra's algorithm使用0作为初始节点。算法找到的距离正是我们要搜索的数字。

在我们的案例中（6,7,15），数字7产生0 - > 1（重量1），1 - > 2（重量1），2 - > 3（重量1），......，5 - > 0（权重1）和数字15给出0 - > 3（重量2），1 - > 4（重量2），......，5 - > 1（重量2）。从0到3的最短路径有一条边 - 它的权重是2.所以6 * 2 + 3 = 15是给出3作为余数的最小数。 6 * 1 + 3 = 9不可用（好吧，我们先前手工检查过。）

与正则表达式的连接是什么？好吧，每个正则表达式都有一个等价的有限自动机，我构造了其中一个。

允许多个查询的问题出现在Polish Olympiad上，我翻译了解决方案。现在，如果你现在听到一个人说计算机科学对真正的程序员没用，那就打他一下吧。

Answer 2

根据this，如果{n1，n2，n3，...}的最大公因子不是m的除数，那么你没有解决方案。此页面仅显示{n1，n2}的示例，但它扩展到更大的系统。新问题是编写一种算法来寻找最大的公因子，但鉴于原始问题，这是微不足道的。

因此，你的算法的一部分会找到gcf（{n1，n2，...}）然后看它是否是m的因子。如果不是，则不存在解决方案。这并不能完全显示存在解决方案，但它可以快速向您显示不存在，这仍然有用。

Answer 3

看起来你在谈论一个带有整数约束的不等式系统。现实是你正在为这个系统解决问题：

k1n1+k2n2+k3n3...=m
n1 >= 0
n2 >= 0
n3 >= 0

n1，n2，n3是整数的附加约束。这是一个linear programming问题。对您来说不幸的是，使用integer constraints is NP-complete解决此类系统的一般情况。但是，有很多算法可以为您解决。

Answer 4

这与Frobenius coin problem有关，但是n> 3尚未解决。

Answer 5

蛮力方法（伪代码）：

def a = 3
def b = 4
def c = 5
def x = 456

for n1 = a to int(x / a) + 1 step a
  for n2 =b to int(x / b) + 1 step b
    for n3 = c to int(x / c) + 1 step c
      if a * n1 + b * n2 + c * n3 = x then
        print n1, n2, n3

另见http://mail.python.org/pipermail/python-list/2000-April/031714.html

编辑：在通讯库中这没有任何意义，因为它需要立即工作。在OP的应用程序中，我可能会使用某种哈希，但他的方法听起来很有趣。

Answer 6

这是2号码的情况。我还没想出如何扩展它：

给定2个相对素数的整数x和y，存在正整数a和b，使得所有ax+by=c的{{1}}

基本上，这是有效的，因为如果你假设c>=(x-1)(y-1)，你可以用（0，y，2y，3y，...，（x-1）y）表示所有整数mod x。现在，通过添加x的一些正数，你可以得到[（x-1）（y-1），（x-1）y]之间的所有整数，作为（x-1）之间的所有整数（y- 1）和（x-1）y-1先前已表达过。

GCD（X，Y）。如果c不是倍数，则返回false。
如果GCD（x，y）> 1，用GCD划分x，y，c
如果c> （x-1）（y-1），返回true
其他蛮力

对于蛮力：

x<y

Answer 7

或许以下信息无关紧要，因为它无法处理一般情况，但......

如果问题是确定给定的正整数K是否可以形成为和3*n1 + 4*n2 + 5*n3，对于非负整数n1，n2，n3，则答案为“是”，对于K> = 3

罗森着名的教科书离散数学及其应用，p。第六版中的第287页，证明“使用感应，只需使用4美分和5美分的邮票即可形成12美分或更多的邮资。”

基础步骤是可以用3张4美分的邮票形成12美分的邮资。

归纳步骤考虑如果P（k）使用4美分的邮票是真的，那么只需用5美分的邮票代替4美分的邮票，以表明P（k + 1）为真。如果P（k）是真的没有使用4美分的邮票，那么，因为k> = 12，我们需要至少3个5美分的邮票来形成我们的总和，3个5美分的邮票可以用4个4美分代替邮票达到k + 1.

要针对此问题扩展上述解决方案，只需要考虑几个案例。

确定线性不定方程的非负值解存在性的算法

7 个答案: