三个正数x，y，z的组合使得x + y，x-y，y + z，y-z，x + z和x-z是完美的正方形

Question

早上好，我是新来的，我带来一个小问题。我无法为以下问题开发有效的算法： 我需要找到三个正数x，y和z的组合，以便x + y，x - y，y + z，y - z，x + z和x - z是完美的正方形。 问题是开发一种算法，找到1，x和y之间的所有组合 和2,000,000。

目前我在for内使用for，在我有孙子孙女之前肯定不会结束。

Answer 1

以替换开头的基本思路，如：

 u = x + y
 v = x - y
 w = y + z

然后x + y，x - y，y + z，y - z，x + z和x - z成为

 u, v, w, u - v - w, v + w, u - w   [all have to be squares]

然后用另一个替换，u =a²，v =b²，w =c²，你得到：

 a², b², c², a² - b² - c², b² + c², a² - c²    [all have to be squares]

现在你可以枚举所有可能已经足够快的a，b，c-s。

进一步的想法可能是首先使用Pythagorean triples枚举所有b²，c²，b²+c²（通过将其替换为m和n，枚举所有互质（m，n）然后使用Euclid公式）然后找到对于给定的（b，c），以类似的方式（例如，将a²-c²=x²改为a = =x²+c²并再次使用三元组）。

Answer 2

扩展BeniBela's answer，

x + y = (x - z) + (y + z)
x + y = (x + z) + (y - z)

因此，只有当斜边可以用两种不同的形式表示时，三元组才有效。 可以通过观察（x - z）和（x + z）也形成毕达哥拉斯三重态的斜边来进行进一步的滤波。