Question

2D中的3分：

P1(x1,y1), 
P2(x2,y2), 
P3(x3,y3)

我需要找到一个点P(x,y)，以便达到曼哈顿距离的最大值

max(dist(P,P1), 
    dist(P,P2), 
    dist(P,P3))

将是最小的。

关于算法的任何想法？

我真的更喜欢精确的算法。

Answer 1

这个问题有一个确切的非迭代算法;正如Knoothe所指出的那样，the Manhattan distance is rotationally equivalent to the Chebyshev distance和P对Chebyshev距离的计算是极端坐标的平均值。

从曼哈顿距离x内的P可到达的点形成围绕P的钻石。因此，我们需要找到包围所有点的最小钻石，其中心将是P.

如果我们将坐标系旋转45度，则钻石是正方形。因此，问题可以减少到找到点的最小封闭平方。

可以找到最小的包围正方形的中心作为最小包围矩形的中心（通常以坐标的最大值和最小值计算）。有无数个最小的包围正方形，因为您可以沿着最小矩形的较短边移动中心，并且仍然具有最小的封闭正方形。出于我们的目的，我们可以简单地使用中心与包围矩形重合的那个。

所以，以算法形式：

通过指定x'= x / sqrt（2） - y / sqrt（2），y'= x / sqrt（2）+ y / sqrt（2）
计算x'_c =（max（x'_i）+ min（x'_i））/ 2，y'_c =（max（y'_i）+ min（y'_i））/ 2
向后旋转x_c = x'_c / sqrt（2）+ y'_c / sqrt（2），y_c = - x'_c / sqrt（2）+ y'_c / sqrt（2）

然后x_c和y_c给出P的坐标

Answer 2

如果近似解决方案没问题，您可以尝试一种简单的优化算法。这是一个例子，在Python中

import random
def opt(*points):
    best, dist = (0, 0), 99999999
    for i in range(10000):
        new = best[0] + random.gauss(0, .5), best[1] + random.gauss(0, .5)
        dist_new = max(abs(new[0] - qx) + abs(new[1] - qy) for qx, qy in points)
        if dist_new < dist:
            best, dist = new, dist_new
            print new, dist_new
    return best, dist

说明：我们从点（0,0）或任何其他随机点开始，并将其修改几千次，每次都保持新的和先前最佳点的更好。渐渐地，这将接近最佳值。

注意简单地选择三个点的均值或中位数，或者单独求解x和y，在最小化最大值时不起作用 >曼哈顿距离。反例：考虑点（0,0），（0,20）和（10,10），或（0,0），（0,1）和（0,100）。如果我们选择分离得最多的点的平均值，那么第一个例子就会产生（10,5），如果我们取中值，那么对于第二个例子，这将是（0,1），它们都具有更高的最大曼哈顿距离比最佳值。

更新：看起来像是单独解决x和y并且取最远点的平均值实际上是可行的，只要做一些预处理和后处理，正如thiton所指出的那样。

将点的最大曼哈顿距离最小化为一组点

2 个答案: