我如何证明使用列表归纳？

Question

我必须通过xs列表归纳显示： reverse（xs ++ ys）=（reverse ys）++（反向xs） 对于所有列表xs和ys。

Answer 1

首先，

reverse (xs ++ ys) ≡ reverse ys ++ reverse xs

如果xs是无限或部分^（1）列表且ys是有限非空列表，则

不成立。因为在这种情况下xs ++ ys也是无限的或部分的，在这两种情况下，

reverse (xs ++ ys) ≡ ⊥

但

reverse ys ++ reverse xs ≡ reverse ys ++ ⊥

和reverse ys是一个有限的非空列表，因此reverse ys ++ ⊥不是⊥，而是一个非初始部分的部分列表。

因此，我们假设xs是一个有限列表，即xs ≡ []或xs ≡ x : zs，其中zs是一个有限列表。

对于基本情况，我们有

reverse ([] ++ ys)
≡ reverse ys         -- by 1.

和

reverse ys ++ reverse []
≡ reverse ys ++ []   -- by 3.

所以它仍然是显示

zs ++ [] ≡ zs

所有列表zs（即使ys ≡ ⊥或ys无限或部分也是如此），以完成基本案例的证明。

你通过zs的归纳证明了这一点（很简单）。

然后你去感应步骤。前两步是：

reverse ((x:xs) ++ ys)
≡ reverse (x:(xs ++ ys))            -- by 2.
≡ reverse (xs ++ ys) ++ [x]         -- by 4.

然后你需要

• 归纳假设
• (++)的相关性[完整证明，需要证明]
• 一些给定的规则。

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^（1）部分列表是表单

的列表

zs ++ ⊥

其中zs是一个有限列表，即它是通过将有限数量（可能为0）的元素“收缩”到⊥而不是[]来获得的。