Question

好的，我最初写了一个简单的代码，根据用户输入从系列中返回Fibonacci数字。

n = 5将产生3 ..

static int fibonacci(int n) {
        if (n == 1)
            return 0;
        else if (n == 2)
            return 1;
        else
            return (fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2));
    }

我正在考虑修改代码以返回系列的总和，而不是仅仅返回系列中的值，并且在尝试执行总和时我意外地将1添加到return语句中，令我惊讶的是，它返回了总和正确。

以下代码将返回7，n = 5.

我不确定这是否是计算总和的正确方法......

如果我加1，我仍然无法弄清楚该系列的总和是如何工作的。有人可以解释一下吗？

static int fibonacci(int n) {
    if (n == 1)
        return 0;
    else if (n == 2)
        return 1;
    else
        return (fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)+(1));
}

编辑：

斐波那契系列.. 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 ....

我尝试了一些随机的

N = 13

该函数返回376

0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 + 144 = 376

N = 10

该函数返回88

0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 = 88

Answer 1

您对fibonacci计划的修改确实可以计算总和。但是，使用递归的方式效率很低。处理此问题的一种方法是使用“动态编程”方法，其中计算值被缓存，以便第二次递归调用可以重用它们。但是，第n个斐波纳契数可以从基数计算出来。递归实现这将是：

public static int fib_r (int a, int b, int n) {
    if (n == 1) return a;
    if (n == 2) return b;
    return fib_r(b, a+b, n-1);
}

public static int fib (int n) {
    return fib_r(0, 1, (n > 0) ? n : 1);
}

总和的相应代码是：

public static int sumfib_r (int a, int b, int n) {
    if (n == 1) return a;
    if (n == 2) return b;
    return sumfib_r(b, a+b+1, n-1);
}

public static int sumfib (int n) {
    return sumfib_r(0, 1, (n > 0) ? n : 1);
}

尾部递归通常会被编译器/解释器更改为一个简单的循环，作为tail call删除的一部分。

你问：

如果我加1，我仍然无法弄清楚该系列的总和是如何工作的。有人可以解释一下吗？

这个问题实际上是关于理解算法，我认为这是SO的主题。但是，需要数学来描述算法的工作原理。所以，这真的是一个数学问题。有一个well known theorem regarding the sum of Fibonacci numbers。如果F[i]是第i个斐波那契数，S[n]是第一个n斐波那契数的总和，那么上面的定理说明：

    S[n] = F[n+2] - 1

因此，如果我们根据S[n+2]的定义考虑，

S[n+2] = S[n+1] + F[n+2]

然后，用S[n] + 1代替F[n+2]：

S[n+2] = S[n+1] + S[n] + 1

您应该认识到的是“添加1个已修改的”fibonacci功能。

以下是感应证明您的程序计算我在原始答案中提供的总和。让F代表您的fibonacci函数，让S代表您的“添加1修改后的”fibonacci函数。

F[1] = 0
F[2] = 1
F[i] = F[i-1] + F[i-2] for i > 1

S[1] = 0
S[2] = 1
S[i] = S[i-1] + S[i-2] + 1 for i > 1

然后，您需要一个k > 0的证明：

         k
       .---  
S[k] =  >   F[i]
       `---
       i = 1

请注意，当且仅当：

时，上述总和为真

S[1] = F[1]
S[k] = F[k] + S[k-1] for k > 1

证据非常简单。基本情况很简单。

S[1] = F[1] = 0
S[2] = F[2] + F[1] = 1
S[3] = S[2] + S[1] + 1 = F[3] + F[2] + F[1] = 2

归纳步骤是：鉴于对于k > 2的某些S[j+1] = F[j+1] + S[j]，0 < j < k+1，如果j = k+1，则证明等式成立，即：{{1} }。

S[k+2] = F[k+2] + S[k+1]

这样就完成了证明。

Answer 2

不，不会。代码的第二个版本不计算斐波那契函数的所有值的总和，直到给定值。基本情况也是错误的！

如果要递归计算总和，请将问题分成两部分，如下所示：

public static int fib(int n) {
    return n < 2 ? n : fib(n-1) + fib(n-2);
}

public static int sumfib(int n) {
    return n < 0 ? 0 : fib(n) + sumfib(n-1);
}

第一个函数计算fibonacci，第二个函数负责将值添加到给定数字。

Answer 3

正确的方法是使用累加器。

代码应该看起来像这样（我没有检查它，这只是想法）

static int fibonacci(int n, int accumlator) {
    if (n == 1)
        return 0;
    else if (n == 2)
        return 1;
    else
        accumlator = (fibonacci(n - 1, accumlator) + fibonacci(n - 2, accumlator));
        return accumlator;
}

Answer 4

您的代码需要测试n<1 - 如果您传递0或更小的参数，它将永远持续......

除此之外 - 如果你致电fib(5)，会发生以下情况：

...
return(fib(4) + fib(3))

fib(4):
return(fib(3) + fib(2))

fib(3):
return(fib(2) + fib(1))

now fib(2) == 1 by your definition, and fib(1) == 0

so fib(3) == 1

then fib(4) == 1 + 1 = 2

and fib(5) = fib(4) + fib(3) = 2 + 1 = 3

Now if you add the '+1', the following happens:

fib(1) and fib(2) are unchanged
fib(3) = 1 + 0 + 1 = 2
fib(4) = fib(3) + fib(2) + 1 = 4
fib(5) = fib(4) + fib(3) + 1 = 4 + 2 + 1 = 7

您的原始方法很好，但这取决于您如何考虑斐波纳契数的“顺序”（您希望第一个数字是什么）。

Answer 5

递归是计算斐波纳契数的一种非常低效的方法。在数字43之后，它将花费超过30秒，直到你得到答案。我试着找出计算52号的时间，花了大约47分钟。所以时间增长得非常快。

递归代码：

private int calculateRecursivelyInt(int fnum)
    {
        if (fnum == 0)
            return 0;
        if (fnum == 1)
            return 1;

        return calculateRecursivelyInt(fnum - 1) + calculateRecursivelyInt(fnum - 2);
    }

循环效率更高

    //This method will be able to calculate till the F46 because int can't hold a 
    // bigger number. You can calculate till 92 with a type long and till 93 with
    // unsigned long in C#.

    private int calculateLoopInt(int num)
    {
        int fnum = 0;
        int val1 = 0;
        int val2 = 1;

        for (int i = 0; i < num; i++)
        {
            if (num == 1)
                fnum = 1;
            else if (i > 0)
            {
                fnum = val1 + val2;
                val1 = val2;
                val2 = fnum;
            }
        }
        return fnum;
    }

Answer 6

使用递归函数打印Fibonacci系列的另一种方法。

#include <iostream>

// 0 1 1 2 3 5 8 13...
//

void fibb (int idx, int curr = 0, int next = 0)
{
        std::cout << curr << ", ";
        if(!idx) return;
        if(curr == 0) {
                curr = 1;
                fibb(--idx, curr, next);
                return;
        }
        next += curr;
        fibb(--idx, next, curr);
}


int main()
{
        fibb(10);
}

斐波那契数列 - 递归求和

6 个答案: