正加权有向无环图中的k边最短路径

Question

我得到一个图表，G =（V，E），即正加权，有向和非循环。我将设计一个在O（k（m + n））中运行的算法，用于报告从s到t的k边缘最短路径。 k边缘最短路径被定义为从s到t的具有k个边缘的路径，并且对于从s到t的所有路径，路径的总权重也必须是最小的。

由于BFS不能单独用于查找最短路径（除非权重相等），我认为运行时间意味着使用BFS来查找具有k个边缘的路径。什么让我失望的是k，因为我认为它意味着执行BFS k次。

我可能的想法是从源运行BFS以找到所有可能的k-link路径。通过跟踪沿途的水平并将每个节点的总路径权重存储到我的队列中，我可以找到所有可能的k-link路径及其权重。显然，如果我在较低级别遇到具有较低路径权重的目的地，则根据定义没有k边缘最短路径。如果有超过k个边的路径总重量减少的情况怎么办？它也不是O（k（m + n））。任何有用的提示将不胜感激。

Answer 1

让f[i][j]成为从s到j的i-link最短路径，最初我们有

f[1][x] = e(s, x);

然后迭代K - 1次，我们每轮使用f[i][]来计算f[i + 1][]，这可以通过

完成

for each node v:
    f[i + 1][v] = INF;
for each edge e[u][v]:
    f[i + 1][v] = min(f[i + 1][v], f[i][u] + e[u][v]);

因此需要O(k(n + m))。