计算嵌套for循环的复杂性

Question

我想计算这个嵌套for循环的复杂性：

s = 0;
for(i=1; i<=n; i*=2)
   for(j=1; j<=i; j*=2)
      s++;

我使用什么策略来找到这段代码的Big O复杂性？

Answer 1

外部循环遍历1,2,4,8 ...... n ，这需要O（lg n ）步骤，因为你只能加倍一个O （lg n ）次，直到你点击 n 。

内循环也是如此。它只能到达 i ，但在外部循环的最后一次迭代中， i 达到其最大值，即 n ，因此也是O（lg n ）。

将它们放在一起得到O（（lg n ）²）的上限，通常缩写为O（lg² n ）。

Answer 2

自行获得答案的策略

将n的不同值插入等式中，并绘制循环最内部运行次数的图表：

s = 0;
for(i=1; i<=n; i*=2)
  for(j=1; j<=i; j*=2)
    s++;

这样的事情：

n     num_times_inner_loop_part_runs
1     1
2     3
3     3
4     6
5     6
6     6
7     6
8     10
9     10
...
15    10
16    15
...
31    15
32    21

您可以使用以下程序获取这些数据点：

int n = 9;  //change this n
int counter = 0;
for(i=1; i<=n; i*=2){
  for(j=1; j<=i; j*=2){
    s++;
    counter++;
  }
}
cout << "counter is: " <<  counter << endl;

在{/ 1}} X / Y坐标平面上绘制，你会看到一条曲线。

命名最接近的曲线。在这种情况下，它是num_times_inner_loop_part

如果您绘制数据和X = (log(Y)^2)，您会发现它们应该相互重叠。

因此，此函数的复杂性为X = (log(Y)^2)，这是对O((log(n))^2)的改进

Answer 3

这段代码的时间分析：

Answer 4

您的算法时间复杂度可以正式描述如下：

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