与其他数据结构相比，二进制索引树具有很少或相对没有理论可供研究。它是唯一一个简明扼要地教授is the topcoder tutorial的地方。虽然教程在所有解释中都是完整的，但我无法理解这种树背后的直觉是什么？以及如何证明它的正确性？
我认为证明是复杂的解释。那么在使用BIT时，您会采用什么方法？
答案 0 :(得分：76)
我发现@templatetypedef this answer非常清楚地解释了二进制索引树的直觉和证明： 答案......
直观地说，您可以将二进制索引树视为二叉树的压缩表示，二叉树本身就是标准数组表示的优化。这个答案可以归结为一种可能的推导。
例如，假设您要存储总共7个不同元素的累积频率。您可以通过写出七个将分配数字的桶来开始：
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
1 2 3 4 5 6 7
现在，让我们假设累积频率看起来像这样：
[ 5 ] [ 6 ] [14 ] [25 ] [77 ] [105] [105]
1 2 3 4 5 6 7
使用此版本的数组，您可以通过增加存储在该点的数字的值来增加任何元素的累积频率，然后增加之后所有内容的频率。例如，要将累积频率增加3乘以7，我们可以在位置3处或之后的数组中为每个元素添加7，如下所示：
[ 5 ] [ 6 ] [21 ] [32 ] [84 ] [112] [112]
1 2 3 4 5 6 7
这个问题是需要花费O（n）时间，如果n很大，那就非常慢。
我们可以考虑改进此操作的一种方法是更改存储在存储桶中的内容。您可以考虑仅存储当前频率相对于前一个桶增加的量，而不是将累积频率存储到给定点。例如，在我们的例子中，我们将按如下方式重写上述桶：
Before:
[ 5 ] [ 6 ] [21 ] [32 ] [84 ] [112] [112]
1 2 3 4 5 6 7
After:
[ +5] [ +1] [+15] [+11] [+52] [+28] [ +0]
1 2 3 4 5 6 7
现在，我们可以通过向该桶添加适当的金额来在时间段O（1）内增加桶内的频率。但是，现在进行查找的总成本变为O（n），因为我们必须通过总结所有较小存储桶中的值来重新计算存储桶中的总数。
我们需要从这里获得二元索引树的第一个主要见解如下：而不是连续重新计算特定元素之前的数组元素的总和，如果我们要预先计算所有元素的总和，该怎么办？序列中特定点之前的元素？如果我们能做到这一点，那么我们可以通过总结这些预先计算的总和的正确组合来计算出某一点的累积和。
执行此操作的一种方法是将表示从桶数组更改为节点的二叉树。每个节点都将注释一个值，该值表示该给定节点左侧所有节点的累积和。例如，假设我们从这些节点构造以下二叉树：
4
/ \
2 6
/ \ / \
1 3 5 7
现在，我们可以通过存储包括该节点及其左子树的所有值的累积和来扩充每个节点。例如，给定我们的值，我们将存储以下内容：
Before:
[ +5] [ +1] [+15] [+11] [+52] [+28] [ +0]
1 2 3 4 5 6 7
After:
4
[+32]
/ \
2 6
[ +6] [+80]
/ \ / \
1 3 5 7
[ +5] [+15] [+52] [ +0]
鉴于这种树结构，很容易确定累积总和到一个点。这个想法如下：我们维护一个计数器，最初为0，然后进行正常的二进制搜索，直到我们找到有问题的节点。在我们这样做时，我们还有以下内容：只要我们向右移动，我们也会将当前值添加到柜台。
例如，假设我们要查找3的总和。为此，我们执行以下操作：
您可以想象也反过来运行此过程：从给定节点开始，将计数器初始化为该节点的值，然后将树向上走到根。每当您向上追踪右子链接时，请在您到达的节点处添加值。例如，要查找3的频率，我们可以执行以下操作：
为了增加节点的频率（以及隐含地，在它之后的所有节点的频率），我们需要更新树中包含该子节点中的节点的节点集。为此，我们执行以下操作：增加该节点的频率，然后开始向上走到树的根。只要您按照将您带为左子的链接，请通过添加当前值来增加您遇到的节点的频率。
例如，要将节点1的频率增加5，我们将执行以下操作：
4
[+32]
/ \
2 6
[ +6] [+80]
/ \ / \
> 1 3 5 7
[ +5] [+15] [+52] [ +0]
从节点1开始，将其频率增加5以获得
4
[+32]
/ \
2 6
[ +6] [+80]
/ \ / \
> 1 3 5 7
[+10] [+15] [+52] [ +0]
现在，转到它的父母：
4
[+32]
/ \
> 2 6
[ +6] [+80]
/ \ / \
1 3 5 7
[+10] [+15] [+52] [ +0]
我们向上跟着左子链接，所以我们也增加了这个节点的频率：
4
[+32]
/ \
> 2 6
[+11] [+80]
/ \ / \
1 3 5 7
[+10] [+15] [+52] [ +0]
我们现在转到它的父母：
> 4
[+32]
/ \
2 6
[+11] [+80]
/ \ / \
1 3 5 7
[+10] [+15] [+52] [ +0]
这是一个左子链接，所以我们也增加了这个节点：
4
[+37]
/ \
2 6
[+11] [+80]
/ \ / \
1 3 5 7
[+10] [+15] [+52] [ +0]
现在我们已经完成了！
最后一步是将其转换为二进制索引树，这是我们用二进制数做一些有趣的事情的地方。让我们用二进制文件重写这个树中的每个桶索引：
100
[+37]
/ \
010 110
[+11] [+80]
/ \ / \
001 011 101 111
[+10] [+15] [+52] [ +0]
在这里，我们可以做一个非常非常酷的观察。获取这些二进制数中的任何一个，找到数字中设置的最后一个，然后关闭该位以及它之后的所有位。您现在留下以下内容：
(empty)
[+37]
/ \
0 1
[+11] [+80]
/ \ / \
00 01 10 11
[+10] [+15] [+52] [ +0]
这是一个非常非常酷的观察：如果你将0视为＆＃34;那么＆＃34;和1代表＆＃34;右，＆＃34;每个数字上的剩余比特拼写出如何从根开始，然后向下走到那个数字。例如，节点5具有二进制模式101.最后一个是最后一位，所以我们将其删除为10.确实，如果从根开始，向右（1），然后向左（0），结束在节点5处！
这很重要的原因是我们的查找和更新操作取决于从节点返回到根的访问路径以及我们是否遵循左或右子链接。例如，在查找期间，我们只关心我们遵循的左侧链接。在更新过程中，我们只关心我们遵循的正确链接。这个二进制索引树只通过使用索引中的位来完成所有这些操作。
关键技巧是这个完美二叉树的以下属性：
给定节点n，访问路径上的下一个节点返回到我们右边的根，通过取n的二进制表示并删除最后一个来给出。
例如，查看节点7的访问路径，即111.我们采用的访问路径上的节点涉及向右跟随右指针
所有这些都是正确的链接。如果我们采用节点3的访问路径（即011），并查看我们正确的节点，我们得到
这意味着我们可以非常非常有效地计算到节点的累积总和，如下所示：
同样，让我们考虑如何进行更新。为此，我们希望按照访问路径返回到根目录，更新我们向上跟随左链接的所有节点。我们可以通过基本上执行上述算法来完成此操作，但将所有1和0切换为0和0到1。
二进制索引树的最后一步是要注意，由于这种按位欺骗，我们甚至不需要再显式存储树。我们可以将所有节点存储在长度为n的数组中，然后使用按位的twiddling技术隐式导航树。实际上，这正是按位索引树所做的 - 它将节点存储在一个数组中，然后使用这些按位技巧有效地模拟在这棵树中向上行走。
希望这有帮助！