Question

有各种类型的物品（N种类型），每种都有重量wi和成本ci。每个都有无穷无尽的数量。问题是制作具有EXACT（W）重量和最小物品总成本的背包。我知道在这种情况下我应该使用动态，但这不是通常的背包问题，我找不到关系。我也发现了一些类似的问题，但我还没有理解这些问题。以下是1，2的链接。如何使用DP来解决它？

Answer 1

让f [i]表示，为了获得权重i，最低成本。 g [i]表示是否可以精确组合权重i;

f[0]=0;g[0]=true;
for (int i=0;i<N;i++)
    for (int j=0;j<W;j++)
        if (g[j]) {
            g[j+w[i]]=true;
            if (f[j+w[i]]==0||f[j+w[i]]>f[j]+c[i])
                f[j+w[i]]=f[j]+c[i];
        }

if (g[W]) return f[W];
else return 0;//impossible

Answer 2

假设您想要找到最低费用，可以用来完成W以及c_i > 0和w_i > 0的权重，然后我们可以将min_cost(i, W)定义为最低仅使用权重为i的{{1}}到N的项目可以实现的费用

基本案例发生在我们只有一个项目时，因此W时。在这种情况下，解决方案是：

i=N因为如果我们不使用项目min_cost(N, 0) = 0，那么我们的权重已经等于0

N如果min_cost(N, W) = c_i * W / w_i是W的倍数，即w_i

W mod w_i = 0否则，因为我们无法仅使用最后一项获得min_cost(N, W) = Infinity的权重。
现在可以将经常性关系表述为：
直到W

min_cost(i, W) = min(c_i * k + min_cost(i+1, W - k * w_i))

k=0

经常性关系表明，我们将尽可能多地使用项目W - k*w_i < 0，而我们的权重未超过i。

然后，您可以使用memoization的递归算法实现此方法，并根据需要存储实际解决方案（重复中的W）。

修改根据建议，如果我们发现有两种情况会影响k，则可以实现加速。这种情况首先是不需要首先使用第i个项目min_cost(i, W)，当我们要使用第i个项目至少一次时，这与min_cost(i+1, W)相同，因为我们可能会使用项目min_cost(i, W - w_i)不止一次。这会将我们的重现更改为以下内容：

背包的变化 - 精确重量的最小总成本

2 个答案: