Question

该程序计算斐波纳契数。我想用递归关系找出它的时间复杂度。

Fib(n)
if n<=1
  return n
else
  x= Fib(n-1)
  y= Fib(n-2)
  return x+y

该程序的递推方程为的 T（N）= T（N-1）+ T（N-2）+ C

我试图花费它，但找不到解决方案。

 =2T(n-1)+T(n-3)+c+c
 =3T(n-3)+2T(n-4)+c+c+3c
 =5T(n-4)+3T(n-3)+c+c+3c+5c
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Answer 1

您需要考虑对您的功能进行多少次通话。每个调用都会生成2，因此它生成一个二叉树：

名词

（N-1）--------------（N-2）

（N-2） - （N-3）------（N-3）---（N-4）

等等。

首次达到1时考虑树的级别并忽略下面的所有内容。这发生在第n / 2级（因为每个级别的最低数字是最右边的，它总是减少2）。很明显，每个级别上最多n / 2的节点总是两倍于前一级别的节点。

因此节点总数为1 + 2 + 2 ^ 2 + ... + 2 ^（n / 2）= 2 ^（n / 2 + 1） - 1 = O（2 ^（n / 2）））

这意味着时间复杂度至少是指数级的。

你可以更准确地计算它，但是出于所有实际目的，这应该足以避免这种实现。

Answer 2

给定的递归关系是，

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + c   ------ 1
T(n-1)= T(n-2) + T(n-3) + c ------ 2

1-2 -> T(n) = 2T(n-1) - T(n-3) ----- 3
T(n) - 2T(n-1) + T(n-3) = 0 ----- 4

4的特征方程是 x ³ - 2x ² + 1 = 0 ---- 5

求解方程式5，

解决方案为x = 1，x = (1 + √5)/2和x = (1 −√5)/2

一般解决方案是， T _n = a（（1 +√5）/ 2）ⁿ + b（（1 - √5）/ 2）ⁿ + c。 1 ⁿ

T _n = a（（1 +√5）/ 2）ⁿ + b（（1 - √5）/ 2）< sup> n + c

让我们假设 T（0）= 0 ，从等式1我们得到 T（1）= c 和 T（2）= 2c

那里， T（0）= a + b + c = 0 ---- 6

T（1）= a（（1 +√5）/ 2）+ b（（1 - √5）/ 2）+ c = c

a（（1 +√5）/ 2）+ b（（1 - √5）/ 2）= 0 ----- 7

T（2）= a（（1 +√5）/ 2）² + b（（1 - √5）/ 2）² + c = 2c

a（（1 +√5）/ 2）² + b（（1 - √5）/ 2）² = c - --- 8

求解6,7和8，得到a，b和c的值。

一般解决方案是，

T _n = a（（1 +√5）/ 2）ⁿ + b（（1 - √5）/ 2）ⁿ + c

因为（1 +√5）/ 2＆lt; 2 ，

T（n）= O（2 ⁿ）。

Answer 3

关于你的递归关系的注意事项是 与Fibonacci重复本身相同 。这意味着，无论您计算什么斐波纳契数，您都需要c个单位的工作时间。您可以从计算的前几个步骤中自己查看。 c开始像Fibonacci数字一样增长。

基本上你的复发归结为O（Fib（n））。 Fibonacci数在n中是指数的，因此您将进行指数工作。

更好的方法是记住其中一个数字。像这样：

Fib(n):
    if n <= 2:
        return 1,0
    else:
        x,y = Fib(n-1)
        return x+y,x

因此，当您致电Fib(n)时，您将获得两个值，即Fib（n）和Fib（n-1）。您返回的额外x＆＃34;记得＆＃34; Fib（n-2）所以你不必计算两次。此重复归结为T(n) = T(n-1) + c，即O（n）。

一旦你有了这个，你可以把它减少到一个很好的小循环：

x = 1, y = 0
for i from 3 to n:
    x,y = x+y,x

使用递归关系的程序的时间复杂度

3 个答案: