python numpy.convolve解决卷积积分，限制从0到t而不是-t到t

Question

我有一个类型的卷积积分：

为了在数字上解决这个问题，我想使用numpy.convolve()。现在，正如您在online help中看到的那样，卷积从-infinity到+ infinity正式完成，意味着数组完全相互移动以进行评估 - 这不是我需要的。我显然需要确保选择正确的卷积部分 - 你能否确认这是正确的方法，或者告诉我如何正确地做（也许更重要）为什么？

res = np.convolve(J_t, dF, mode="full")[:len(dF)]

J_t是一个分析函数，我可以根据需要评估多个点，dF是测量数据的衍生物。对于这种尝试，我选择len(J_t) = len(dF)，因为根据我的理解，我不需要更多。

感谢您的想法，一如既往，感谢您的帮助！

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背景资料（对于可能感兴趣的人）

如果您对此主题更熟悉，可以使用这些类型的积分来评估物体的粘弹性行为（或电压变化期间电路的响应）。对于粘弹性，J（t）是蠕变柔量函数，F（t）可以是随时间推移的偏应变，然后该积分将产生偏应力。 如果你现在有一个J（t）形式：

J_t = lambda p, t: p[0] + p[1]*N.exp(-t/p[2])

p = [J_elastic, J_viscous, tau]这将是“着名的”standard linear solid。积分限制是测量的开始t_0 = 0和感兴趣的时刻t。

Answer 1

为了做到对，我选择了以下两个功能：

a(t) = t
b(t) = t**2

很容易进行数学运算并发现它们在你的情况下定义的“卷积” 关于价值观：

c(t) = t**4 / 12

让我们试一试：

>>> delta = 0.001
>>> t = np.arange(1000) * delta
>>> a = t
>>> b = t**2
>>> c = np.convolve(a, b) * delta
>>> d = t**4 / 12
>>> plt.plot(np.arange(len(c)) * delta, c)
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x00000000025C37B8>]
>>> plt.plot(t[::50], d[::50], 'o')
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x000000000637AB38>]
>>> plt.show()

通过执行上述操作，如果a和b都有n元素，则会在{{1}的第一个n元素中获得正确的卷积值}}

不确定下面的解释是否有意义，但是在这里......如果你认为卷积是沿着y轴镜像其中一个函数，那么沿着x轴滑动它并计算积分在每个点上的产品，很容易看出如何，因为在定义numpy区域之外将它们当作用零填充，你有效地设置从0到t的积分间隔，​​因为第一个函数是零以下零，第二个是零以上，因为它原来是零以下的零，但是已被镜像并向右移动。

Answer 2

我正在解决同样的问题，并使用效率极低但功能正确的算法解决了这个问题：

def Jfunk(inz,t):

    c0 = inz[0]
    c1 = inz[1]
    c2 = inz[2]

    J = c0 - c1*np.exp(-t/c2)

    return J

def SLS_funk(inz, t, dl_dt):

    boltz_int = np.empty(shape=(0,))

    for i,v in enumerate(t, start=1):

        t_int = t[0:i]

        Jarg = v - t[0:i]

        J_int = Jfunk(inz,Jarg)

        dl_dt_int = dl_dt[0:i]

        inter_grand = np.multiply(J_int, dl_dt_int)

        boltz_int = np.append(boltz_int, simps (inter_grand, x=t_int) )

    return boltz_int

感谢这个问题及其答案，我能够基于上面提出的numpy卷积函数实现更好的解决方案。如果OP很好奇，我会对这两种方法进行时间比较。

对于具有20,000个时间点的SLS（三参数J函数）：

使用Numpy卷积：~0.1秒

使用暴力法：~7.2秒

Answer 3

如果有助于获得对齐的感觉，请尝试卷入一对冲动。使用matplotlib（使用ipython --pylab）：

In [1]: a = numpy.zeros(20)
In [2]: b = numpy.zeros(20)
In [3]: a[0] = 1
In [4]: b[0] = 1
In [5]: c = numpy.convolve(a, b, mode='full')
In [6]: plot(c)

您可以从结果图中看到c中的第一个样本对应于第一个重叠位置。在这种情况下，仅 a和b的第一个样本重叠。所有其余的都漂浮在未定义的空间中。 numpy.convolve有效地用零替换了这个未定义的空间，如果你设置了第二个非零值，你可以看到它：

In [9]: b[1] = 1
In [10]: plot(numpy.convolve(a, b, mode='full'))

在这种情况下，绘图的第一个值是1，与之前一样（显示b的第二个值根本没有贡献。）