在越来越多的坐标系上运行prim的最快方法

Question

我希望有人可以给我一个计算MST的通用方法，以解决因格式化的输入而产生的问题：

<number of vertices>
<x> <y>
<x> <y>
...

我理解如何实现prim的算法，但我正在寻找一种方法（使用prim的算法）将需要最少的内存/时间来执行。我应该将所有内容存储在邻接矩阵中吗？如果顶点的数量增加到10000，那么解决这个问题的最佳方法是什么（假设使用了prim）？

Answer 1

你真的需要使用Prim's吗？

一种简单的方法是每次添加节点时使用Kruskal算法重新计算生成树（仅使用先前选定的边）。由于Kruskal是O（E log E），并且在每次迭代中，您将准确计算2 * V-1个边缘（来自先前树的V-1 +来自新添加节点的V）。每次插入都需要O（V log V）。

Answer 2

如果你有一个密集的图形（一个有很多边缘的图形），Prim的算法会更快。如果使用邻接矩阵，Prim算法的复杂度将为O(|V|^2)。

这可以通过使用具有邻接列表表示的图的二进制堆数据结构来改进。使用此方法，复杂性为O(|E|log|V|)。

使用具有邻接列表的斐波纳契堆数据结构会更快，复杂度为O(|E| + |V|log|V|)。

注意：E表示图表中的边数，而V表示图表中的顶点数。

STL已经实现了二进制堆数据结构std::priority_queue。 std::priority_queue调用algoritm库中的heap算法。您还可以使用std::vector（或任何其他具有随机访问迭代器的容器）并调用make_heap，push_heap，pop_heap等。这些都在algoritm库中。更多信息：http://www.cplusplus.com/reference/algorithm/。

您也可以实现自己的堆数据结构，但这可能过于复杂，不值得获得性能优势。