Question

编辑：澄清问题描述

是否有快速算法解决以下问题？ ~~而且，也是针对这个问题的extendend版本将自然数替换为Z /（2 ^ n Z）？~~（这个问题太复杂了，无法在一个地方添加更多问题，IMO。）

问题：

对于一组给定的自然数，如{7,20,17,100}，需要算法返回最短序列的加法，多重和幂计算所有给定的数字。每个序列项都是（正确的）等式，符合以下模式：

<number> = <number> <op> <number>

其中＆lt; number＆gt;是一个自然数，＆lt; op＆gt;是{+，*，^}之一。

在序列中，＆lt; op＆gt;的每个操作数。

应该是其中之一

1
已经出现在相等左侧的数字。

实施例

Input: {7, 20, 17, 100}
Output:
2 = 1 + 1
3 = 1 + 2
6 = 2 * 3
7 = 1 + 6
10 = 3 + 7
17 = 7 + 10
20 = 2 * 10
100 = 10 ^ 2

我在Haskell中写了回溯算法。它适用于像上面这样的小输入，但我的真实查询是在[0,255]中随机分布~30个数字。对于真正的查询，以下代码在我的电脑中需要2~10分钟。

（Actual code， very simple test）

我当前的（伪）代码：

-- generate set of sets required to compute n.
-- operater (+) on set is set union.
requiredNumbers 0 = { {} }
requiredNumbers 1 = { {} }
requiredNumbers n =
      { {j, k} | j^k == n, j >= 2, k >= 2 }
    + { {j, k} | j*k == n, j >= 2, k >= 2 }
    + { {j, k} | j+k == n, j >= 1, k >= 1 }

-- remember the smallest set of "computed" number
bestSet := {i | 1 <= i <= largeNumber}

-- backtracking algorithm
-- from: input
-- to:   accumulator of "already computed" number
closure from to =
    if (from is empty)
        if (|bestSet| > |to|)
            bestSet := to
            return
    else if (|from| + |to| >= |bestSet|)
        -- cut branch
        return
    else
        m := min(from)
        from' := deleteMin(from)
        foreach (req in (requiredNumbers m))
            closure (from' + (req - to)) (to + {m}) 

-- recoverEquation is a function converts set of number to set of equation.
-- it can be done easily.
output = recoverEquation (closure input {})

附加说明：

像

这样的答案

没有快速算法，因为......
有一个启发式算法，它是......

也受到欢迎。现在我觉得没有快速准确的算法......

我认为答案＃1可以用作启发式。

Answer 1

如果您从排序输入中的最高数字向后工作，检查是否/如何在其构造中使用较小的数字（以及正在引入的数字），该怎么办？

例如，虽然这可能无法保证最短的序列......

input: {7, 20, 17, 100}

(100) = (20) * 5 => 
(7) = 5 + 2      => 
(17) = 10 + (7)  =>
(20) = 10 * 2    =>
10 = 5 * 2       =>
5 = 3 + 2        =>
3 = 2 + 1        =>
2 = 1 + 1

Answer 2

我建议将其转换为某种图形最短路径算法。

对于每个号码，您计算（并存储）最短操作路径。从技术上讲，一步就够了：对于每个数字，你可以存储操作和两个操作数（左和右，因为电源操作不可交换），还有重量（＆＃34;节点＆＃34; ）
最初注册1的权重为零
每次注册新号码时，都必须使用所有已注册的号码生成所有带有该号码的计算（所有加法，乘法，幂）。（的＆＃34;边缘＆＃34; ）

过滤计算：计算结果已经注册，您不应该存储，因为有更简单的方法可以获得该数字

仅存储1个可交换的操作（1 + 2 = 2 + 1）

预先过滤电源操作，因为这甚至可能导致溢出

您必须将此列表排序为最短和路径（边缘权重）。重量=（操作数1的重量）+（操作数2的重量）+（1，操作的重量）

您可以排除所有结果数字，这些数字大于我们必须找到的最大数字（例如，如果我们已经找到100，可以排除20以上的任何数字） - 这可以进行细化，以便您可以检查成员这些行动也是如此。

如果您点击了一个目标号码，那么您找到了计算目标号码的一个的最短路径，您必须重新启动几代：

重新计算目标数字的最大值

返回当前找到的号码的路径，将其权重设置为0（从现在开始，因为已经支付了费用）

重新计算生成列表中操作的权重，因为源操作数权重可能已更改（这会导致最后重新排序） - 此处可以排除操作数大于新最大值的那些

如果所有数字都被点击，则搜索结束

您可以使用＆＃34;反向链接＆＃34;来构建表达式。（每个目标数字的操作，左右操作数）。

重点是我们始终关注目标功能，即操作总数必须尽可能。为了得到这个，我们总是计算到一定数量的最短路径，然后将该数字（以及途中的所有其他数字）视为给定数字，然后将搜索扩展到剩余目标。

理论上，该算法只处理（登记）每个数字一次。应用适当的过滤器会削减不必要的分支，因此不会计算任何内容（除了队列内元素的权重）

快速算法优化算术表达式序列

问题：

实施例

我当前的（伪）代码：

附加说明：

2 个答案: