最短路径上最重要的边缘

Question

我在Sedgewick的算法课程中有这个问题：“关键边缘。给定边缘加权有向图，设计一个E*log(V)算法来找到边缘，其移除导致最大增加从s到t的最短路径的长度（可能无限）。假设所有边权重都是正的。（提示：计算最短路径距离d(v)形式{{ 1}}到s并考虑降低的费用v。）“

我在互联网上看到，1989年有三（3）个人提出了复杂算法c′(v,w)=c(v,w)+d(v)−d(w) ≥ 0，这需要高级数据结构，我认为它是在图表上（不是有向图）。如果有三位先进的计算机科学家来开发这种算法，对于入门课程来说难道不是太大的问题吗？但也许只有O(E + V*log(V))更容易。

你可以帮我解决一下吗？我不明白问题中给出的提示。

Answer 1

这是一个令人困惑的问题，我同意。以下是我对此的一些看法。

通过将原始成本替换为降低成本，将A* search算法简化为Dijkstra算法时，使用“降低成本”一词和定义：

c′(v,w) = c(v,w) - h(v) + h(w) = c(v,w) - (h(v) - h(w)) > 0

h(v) - h(w)部分是启发式函数的一滴，在一致（单调）启发式的情况下不应超过边缘成本，因此降低的成本仍然大于0（参见幻灯片14和15 here）

看起来Sedgewick建议在d(v)中搜索与原始G'相同的新/替换最短路径时使用原始距离函数（G）作为一致启发式算法}，但沿着从s到t的原始最短路径移除了一条边。就个人而言，我看不出它如何帮助解决O(ElogV)中最重要的边缘问题。

还有一个类似的问题：在图表中找到所有向下和向上的关键边缘。根据定义，降低向下临界边缘的成本会降低整体SP成本。增加上行关键边缘的成本会增加整体SP成本。所有关键边都可以在O(ElogV)中找到，参见第8章here。但这并没有回答什么边缘是最关键的问题（当移除时导致最大SP增加）。

正如你所指出的那样，Malik，Mittal和Gupta（1989）在2007年解决了最重要的边缘问题 {{1次。我还没有找到原始的MMG论文，但this presentation解释得很好。据我所知，它可以通过优先级队列解决，不需要特定的数据结构。

很抱歉没有真正回答原始问题（使用降低的成本解决有关图中最重要的边缘问题），但仍希望上面的链接和想法可能对某人有用。我很高兴看到Sedgewick的解决方案。

Answer 2

以下是基于Sedgewick提示在最短路径上找到关键边的算法草图。

首先，降低成本 c'（v，w）= c（v，w）+ d（v）-d（w）对应于最短路径长度的增加从 s 到 w ，在 w 之前经过 v 。 （如果 v 处于从 s 到 w 的最短路径中，则此增加为0.）（确实d（v）是从s到v和c（v，w）的最短路径的长度从v到w的成本。）

假设从 s 到 t 的最短路径是（s，...，v，t），我们删除了最后一条边缘（v，t）。然后，从 s 到 t 的最短路径长度的增加等于所有的 c'（u，t）的最小值-edges （u，t）， u！= v 。

假设 u 是 c'（u，t）是最小值（仍 u！= v ）。然后按照从 s 到 u 的最短路径，直到到达顶点，比如 w ，属于的最短路径s 到 t （没有任何删除的边缘）。从 s 到 t 的最短路径类似于（s，...，w，...，v，t）。 < / p>

请注意，如果删除 w 和 t 之间的任何边缘，您将获得 c'（u，t）的最大增加在最短的路径。实际上，如果缺少 w 和 t 之间的边缘之一，那么从 w 到 t 就足够了>通过顶点 u 。另一方面，请注意删除最后一个边缘（v，t）将导致这种增加。

现在，只需使用 w 进行迭代 t 。找到顶点 x ，使 c'（x，w）为最小值， x 不在最短路径上。按照从 s 到 x 的最短路径，直到到达属于从 s 到 w

到达 s 后，您就可以确定要移除哪个顶点，以使最短路径的长度最大化。