MATLAB;拉格朗日多项式，一个有趣的错误

Question

在我的学校作业中我遇到了一个问题，这需要我计算拉格朗日多项式。数据集（x，y）涉及x = 0,1,2 .... 20， 而y = x - 0.3 * rand（）+ 1; 然后我们被要求观察Runge's Phenomenon。 之后，我们被要求计算边缘周围的Chebyshev Nodes以消除这种现象。好吧，这就是我不知所措的地方。此时我正在计算的拉格朗日多项式不会遍历每个数据点。

我使用的拉格朗日多项式函数是

function P = lagrangepoly(x, y)
   %checks if two inputs vectors are obtained
   if nargin ~= 2
      error('The function accepts only two arguments of equal length'); 
   end

   sz = size(x); %size of x
   sz2 = size(y); % size of y

   %checks if size of x and size of y matches and they are row vectors
   if (sz(1) ~= sz2(1)) || (sz(2) ~= sz2(2)) || (sz(1) ~= 1)
       error('Mismatch in length or unsupported arguments.');
   end

   %takes the length of thevectors
   len = sz(2);

   %creating a emplt 1xlen container
   P = zeros(1, len);
   for i=1:1:len
       %poly evaluates all the convolution of [1 -x(j)] except at x(i)
       %prod evaluates all the product of (x(i) - x(j)) except at x(i)
       P = P + (poly(x((1:len)~=i)) ./ prod(x(i)-x((1:len)~=i))) .* y(i);
   end
end

我正在使用的数据集是： xn = [0 0.5000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 17.0000 18.0000 19.0000 19.5000 20.0000];

yn = [0.7363 1.4701 1.7802 2.8232 3.9698 4.9934 5.9747 6.8635 7.9435 8.9775 9.9013 10.9318 11.8988 12.8343 13.7095 14.9318 15.8800 16.7028 17.8614 18.7046 19.8505 20.2849 20.7036];

我可以看到我得到的曲线

蓝色曲线给出原始数据集，绿色曲线给出从多项式计算的点。 任何人都可以给我建议如何删除此错误。我认为这是某种精确错误。 提前谢谢。

Answer 1

恭喜！你是遇到这个问题的第1000万（和3）人。 ：）

精确。拉格朗日多项式通过21个点将是20度多项式。

所以你要提高20到20的数量。然后，您可以从其他数字中加入和减去它们，这些数字可能是1的数量级。（但是，如果您评估该多项式，则会导致这些相同的问题。）

双人可以处理的数字范围是多少？大约16个十进制数字。期待看到数字垃圾。毫不奇怪，你做到了。

你如何避免它？不要使用高阶多项式！ （顺便说一下，你给出这个例子的原因是要看到那个结果。数值方法中的每个第一类都有这样的例子。）