有效计算N维交叉积？

Question

根据标题，是使用行列式定义并使用LU分解方法计算n维交叉积的最佳方法，或者你们可以建议一个更好的方法吗？

由于

编辑：为清楚起见，我的意思是http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product，而不是笛卡尔积

编辑：似乎使用Leibniz公式可能有所帮助 - 虽然我不知道如何与LU Decomp相比。在这一刻。

Answer 1

从您的评论中，您似乎正在寻找一个以 n -1个向量作为输入的操作，并计算单个向量作为其结果，该向量将与所有输入向量正交并且也许也有明确的长度。

定义长度

您可以使用身份 v ∙来表征三维交叉产品 v = a × b 瓦特的= DET（一， b'/ I>，瓦特的）。换句话说，取输入向量的叉积然后用任何其他向量 w 计算dot product与插入输入向量相同其他向量进入矩阵并计算其determinant。

此定义可以是generalized to arbitrary dimensions。由于可以使用最后一列的Laplace expansion计算行列式的方式，因此该叉积的结果坐标将是所有（ n -1）×（的值。 n -1）子决定因素，您可以从输入向量形成，具有交替的符号。所以是的，Leibniz在理论上可能是有用的，尽管它几乎不适合现实世界的计算。在实践中，您很快就必须找出避免重复计算的方法computing these n determinants。但是等待这个答案的最后一部分......

只是方向

然而，大多数应用程序可以满足较弱的要求。它们不关心结果向量的长度，而只关心其方向。在这种情况下，你要求的是你可以通过将输入向量作为行形成的（ n -1）× n 矩阵的kernel 。该内核的任何元素都将与输入向量正交，并且由于计算内核是一项常见任务，因此您可以构建大量existing implementations，例如Lapack。详细信息可能取决于您使用的语言。

合并这些

你甚至可以结合上面的两种方法：计算内核的一个元素，并且对于该向量的非零条目，也计算相应的（ n -1）×（ n -1）行列式，它将使用第一种方法为您提供单个坐标。然后，您可以简单地缩放矢量，使选定的坐标达到计算值，所有其他坐标将匹配该坐标。