Question

我正在尝试编写代码来测试n^2 + (n+1)^2是否完美。由于我在编程方面没有太多经验，所以我只能使用Matlab。到目前为止，这是我尝试过的

function [ Liste ] = testSquare(N)

        if exist('NumberTheory')
           load NumberTheory.mat
        else
            MaxT = 0;
        end

        if MaxT > N 
            return
        elseif MaxT > 0 
            L = 1 + MaxT;
        else
            L = 1;
        end


    n = (L:N)';            % Makes a list of numbers from L to N
    m = n.^2 + (n+1).^2;   % Makes a list of numbers on the form A^2+(A+1)^2
    P = dec2hex(m);        % Converts this list to hexadecimal 

    Length = length(dec2hex(P(N,:))); %F inds the maximum number of digits in the hexidecimal number
    Modulo = ['0','1','4','9']';      % Only numbers ending on 0,1,4 or 9 can be perfect squares in hex

    [d1,~] = ismember(P(:,Length),Modulo); % Finds all numbers that end on 0,1,4 or 9

    m = m(d1);                             % Removes all numbers not ending on 0,1,4 or 9
    n = n(d1);                             % -------------------||-----------------------
   mm = sqrt(m);                           % Takes the square root of all the possible squares

    A = (floor(mm + 0.5).^2 == m);         % Tests wheter these are actually squares
   lA = length(A(A>0));                    % Finds the number of such numbers

   MaxT = N;
   save NumberTheory.mat MaxT;

if lA>0

    m = m(A);                              % makes a list of all the square numbers
    n = n(A);                              % finds the corresponding n values
   mm = mm(A);                             % Finds the squareroot values of m 

    fid = fopen('Tallteori.txt','wt');     % Writes everything to a simple text.file
        for ii = 1:lA
            fprintf(fid,'%20d %20d %20d\t',n(ii),m(ii),mm(ii));
            fprintf(fid,'\n');
        end
    fclose(fid);

end

end

将具有相应n值的正方形写入文件。现在我看到使用十六进制是一种在C +中找到完美正方形的快速方法，并尝试在matlab中使用它。但是我不确定这是否是最佳方法。

由于十六进制转换，上面的代码在m > 2^52时出现故障。

将n^2 + (n+1)^2表单上的所有完美正方形写入1到N的文本文件中是否有另一种方法/更快？

Answer 1

有一种更快的方式甚至不需要测试。你需要一些基本数论才能找到这种方法，但这里有：

如果n² + (n+1)²是一个完美的正方形，那就意味着m就是

     m² = n² + (n+1)² = 2n² + 2n + 1
<=> 2m² = 4n² + 4n + 1 + 1
<=> 2m² = (2n+1)² + 1
<=> (2n+1)² - 2m² = -1

从“最小”（正）解决方案

开始，很容易解决该类型的方程式

1² - 2*1² = -1

的

x² - 2y² = -1

对应于数字1 + √2，您可以通过将其与原始解决方案的幂相乘来获得所有进一步的解决方案

a² - 2b² = 1

是(1 + √2)² = 3 + 2*√2。

以矩阵形式编写，获得x² - 2y² = -1的所有解

|x_k|   |3 4|^k   |1|
|y_k| = |2 3|   * |1|

并且所有x_k都必须是奇数，因此可以写为2*n + 1。

前几个解决方案(x,y)是

(1,1), (7,5), (41,29), (239,169)

对应(n,m)

(0,1), (3,5), (20,29), (119,169)

您可以通过

获取下一个(n,m)解决方案对

(n_(k+1), m_(k+1)) = (3*n_k + 2*m_k + 1, 4*n_k + 3*m_k + 2)

从(n_0, m_0) = (0,1)开始。

快速Haskell代码，因为我不会说MatLab：

Prelude> let next (n,m) = (3*n + 2*m + 1, 4*n + 3*m + 2) in take 20 $ iterate next (0,1)
[(0,1),(3,5),(20,29),(119,169),(696,985),(4059,5741),(23660,33461),(137903,195025)
,(803760,1136689),(4684659,6625109),(27304196,38613965),(159140519,225058681)
,(927538920,1311738121),(5406093003,7645370045),(31509019100,44560482149)
,(183648021599,259717522849),(1070379110496,1513744654945),(6238626641379,8822750406821)
,(36361380737780,51422757785981),(211929657785303,299713796309065)]
Prelude> map (\(n,m) -> (n^2 + (n+1)^2 - m^2)) it
[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]

由EitanT编辑：

这是用于计算第一个N数字的MATLAB代码：

res = zeros(1, N);
nm = [0, 1];
for k = 1:N
    nm = nm * [3 4; 2 3] + [1, 2];
    res(k) = nm(1);
end

生成的数组res应保存满足完美正方形条件的n值。

快速测试n ^ 2 +（n + 1）^ 2是否是完美平方的方法

1 个答案: