关于递归函数的推理

Question

我正在完成罗伯特·塞奇威克和凯文·韦恩的第四版算法，并且在练习1.1.27中难以接受，其中提出：

  

估计代码将使用的递归调用的数量

public static double binomial(int N, int k, double p)
{
  if ((N == 0) || (k < 0)) return 1.0;
  return (1.0 - p)*binomial(N-1, k, p) + p*binomial(N-1, k-1, p);
}

     

计算二项式（100,50）。

虽然我想帮助回答这个问题，但我也希望能够更好地理解和推理这种性质的问题，所以任何帮助或指示都会受到赞赏。

Answer 1

此算法遍历Pascal的三角形。

您可以将三角形遍历排列为矩形N * K.如果算法仅访问每个单元格一次，则总计为100 * 50 = 5000。

以下是一个例子：

在这个例子中，N = 6，K = 4。

然而，问题是该算法不记得它已访问过哪些单元格，因此它冗余地访问单元格。每次通话都会减少通话次数（哎呀，坏）。

所以它是1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ......

2的幂的总和是2 ^（n + 1）-1，所以它将是2 ^ 101 - 1 = 2535301200456458802993406410751

这是一个很大的数字。不要运行这个程序。

（请注意，这个数字只是近似值，因为如果K <0，某些调用不会加倍，所以上面的数字可能除以2左右。）

Answer 2

如果从具体示例开始，您将立即看到该模式。对于N = 0，显然它是0.对于N = 1，它是2个递归调用（因为每个调用在直接较低级别产生两个递归调用，即对于N-1。

对于N = 2，那么它是2 * 2 = 4

对于N = 3，则它是2 * 2 * 2（即2 ^ 3）

对于N = 4，那么它是2 ^ 4

我假设你看到了模式。