什么是嵌套循环的Big-Oh i = 0..n-2，j = i + 1..n-1？

Question

给出以下代码：

for (int i = 0; i < n-1; ++i)
{
    for (int j = i+1; j < n; ++j)
    {
        // Do work.
    }
}

它的Big-Oh值是多少（超过n）？我认为这是O（N ^ 2），但我不确定。

我在这里找到了类似的问题：complexity for nested loops

但我认为它并不完全相同。

Answer 1

应该可以这样检查。

int z = 0, n = 10; // try 20 etc
for (int i = 0; i < n-1; ++i)
{
    for (int j = i+1; j < n; ++j)
    {
        z++;
    }
}

现在，检查z的值。

With n = 10; z becomes 45
With n = 20; z becomes 190
With n = 40; z becomes 780

n 加倍导致 z 变为其值的4倍。因此，它约为O(n^2)。

Answer 2

是的，那是O(N^2)。在外循环的开头和结尾配对内循环的迭代，如下所示：

内循环将执行...

在外循环的第一次迭代中
• N-1次，在最后一次迭代中1次
在外循环的第二次迭代中
• N-2次，在倒数第二次迭代中2次
在外循环的第三次迭代中
• N-3次，在第三次到最后一次迭代时3次
• ......等等;你会有N/2对这样的人;当N为奇数时，最后一对不完整。

您可以看到每个对共执行N次，并且您有N/2个这样的对，总共N*(N-1)/2次。

公式的派生方式来自derivation of the formula for the sum of arithmetic progression，共同点1。

Answer 3

有条不紊地，使用Sigma表示法（经验验证），您可以获得确切的迭代次数加上增长复杂度的顺序：