Question

对于数组a：a ₁，₂，... a _k，... a _n， a _k是一个峰值当且仅当_k-1≤a_k≥a_{k + 1}时1＆lt; k和k < ñ。如果₁≥a₂，₁是一个峰值，如果_{，_n是一个峰值> n-1}≤a_n。目标是从阵列中找到一个峰值。

分而治之算法如下：

find_peak(a,low,high):
    mid = (low+high)/2
    if a[mid-1] <= a[mid] >= a[mid+1] return mid // this is a peak;
    if a[mid] < a[mid-1] 
        return find_peak(a,low,mid-1) // a peak must exist in A[low..mid-1]
    if a[mid] < a[mid+1]
        return find_peak(a,mid+1,high) // a peak must exist in A[mid+1..high]

为什么这个算法是正确的？我认为它可能会失去一个存在峰值的阵列的一半。

Answer 1

算法是正确的，虽然它需要一些微积分来证明。第一种情况是微不足道的→峰值。第二种情况是“半峰”，意味着它有下坡，但没有上升。

我们有两种可能性：

该函数单调递减，直到_mid→a ₁≥₂为峰值。
函数不是单调递减直到_mid→存在1≥k≥mid，其中_k≥a_{k-1 。让我们选择这个陈述为真的最大k→a _{k + 1}＆lt; a _k≥a_k-1→这就是峰值。}

类似的论证可以适用于具有相反“半峰”的第三种情况。

划分并征服用于在阵列中找到峰值的算法。

1 个答案: