有比Dijkstra更快的算法吗？

Question

给定一个只有正边权重的有向连通图，是否有更快的算法来找到两个顶点之间的最短路径，而不是使用斐波纳契堆的Dijkstra？

维基百科说，Dijkstra在O（| E | + | V | * log（| V |））（使用斐波那契堆）。

我不是在寻找优化，例如，执行时间的一半，而是具有不同时间复杂度的算法（例如从O（n * log n）到O（n））。

此外，我想了解您对以下方法的看法：

1. 确定所有边缘权重的GCD。
2. 将图形转换为具有均匀边缘权重的图形。
3. 使用BFS查找两个给定顶点之间的最短路径。

第2点的示例：
想象一下GCD是1.然后我会改变边缘
A ---> B（边缘重量3）
到
A-> A' - > A'' - > B（边缘重量1的3倍）
这种转换需要花费不变的时间，并且必须针对每个边缘进行一次。所以我希望这个算法在O（| E |）（变换）+ O（| E | + | V |）（BFS）= O（2 * | E | + | V |）= O（| E | + | V |）

感谢您抽出宝贵时间阅读我的问题，希望不要浪费你的时间^^。祝你有愉快的一天。

Answer 1

你为你的算法做的大分析是非常有缺陷的。假设所有边都是素数。新图中的边数将等于所有权重的总和。因此，新图表的O(|E| + |V|)实际上是原始图表中的O(W x |E| + |V|)，可能比O(|E| + |V| log |V|)大得多。

Answer 2

  

算法比Dijkstra快吗？

是。这个问题不合格，因此在所有情况下甚至在大多数情况下都要求更好的性能。在单个案例中具有更好性能的算法足以建立肯定答案。

  

尽管通常需要更多的迭代次数   Bellman-Ford方法超过Dijkstra的方法，在实践中Bellman-Ford方法可以   因为每次迭代的开销较小而优越[Golden，B.，1976。“Shortest-Path Algorithms：A Comparison”，Operations Research，Vol。 44，pp.1164-1168]。

以上引用来自Dimitri P. Bertsekas（1992年3月）。 “用于最短路径的简单快速标签校正算法”（PDF）。网络，卷。 23，pp.703-709,1993。http://www.mit.edu/people/dimitrib/SLF.pdf。检索2008-10-01。

简而言之，我的主张基于Bertsekas对Golden的解释。无论我的结论是否成立，您可能会发现Bertsekas将Dijkstra算法分类为标签设置方法很有趣，与标签修正方法形成对比。

Answer 3

有一种算法有O（1）：将权重转换成链长，并使用关键环作为节点（真正的钥匙环就像你口袋里的那些）。用正确的链条连接钥匙圈。选择两个节点并将它们彼此拉开。

遵循从一个节点到另一个节点的拉紧链。这是最短的路径。

要将其作为计算机程序实现，您需要两个工业机器人：）

对于一个更真实的例子，使用Ant colony optimization可以在短时间内获得非常好的结果。由于您可以在此算法中指定运行次数，因此您可以决定花费多少时间（即运行时仅取决于节点数），这样可以得到O（n）但不能保证完美结果。

Answer 4

总是有A *，它的衍生类似于Hierarchical A *和A * JPS。