Question

我有一个尺寸为Nx * Ny * Nz的真实3D数组，并希望对每个z值using FFTW进行二维傅立叶变换。这里的z索引是内存中变化最快的。目前，以下代码按预期工作：

int Nx = 16; int Ny = 8; int Nz = 3;

// allocate memory
const int dims = Nx * Ny * Nz;

// input data (pre Fourier transform)
double *input = fftw_alloc_real(dims);              

// why is this the required output size?
const int outdims = Nx * (Ny/2 + 1) * Nz;           
// we want to perform the transform out of place
// (so seperate array for output)
fftw_complex *output = fftw_alloc_complex(outdims);    


// setup "plans" for forward and backward transforms
const int rank = 2; const int howmany = Nz;
const int istride = Nz; const int ostride = Nz;
const int idist = 1; const int odist = 1;
int n[] = {Nx, Ny};
int *inembed = NULL, *onembed = NULL;


fftw_plan fp = fftw_plan_many_dft_r2c(rank, n, howmany,
        input, inembed, istride, idist,
        output, onembed, ostride, odist,
        FFTW_PATIENT);

fftw_plan bp = fftw_plan_many_dft_c2r(rank, n, howmany,
        output, onembed, ostride, odist,
        input, inembed, istride, idist,
        FFTW_PATIENT);

根据我的理解，转换长度为N的1D序列需要（N / 2 + 1）个复数值，那么为什么上面的代码会崩溃，而我设置outdims = (Nx/2 + 1)*(Ny/2 + 1)*Nz就像人们对2D变换所期望的那样？

其次我认为我可以使用以下内容从qx = 0 to Nx/2（包括）访问模式的实部和虚部：

#define outputRe(qx,qy,d) ( output[(d) + Nz * ((qy) + (Ny/2 + 1) * (qx))][0] )
#define outputIm(qx,qy,d) ( output[(d) + Nz * ((qy) + (Ny/2 + 1) * (qx))][1] )

编辑：Full code和Makefile适合那些想要玩游戏的人。假设安装了fftw和gsl。

EDIT2：如果我理解正确，索引（允许正负频率）应该是（对于宏来说可能太乱了！）：

#define outputRe(qx,qy,d) ( output[(d) + Nz * ((qy) + (Ny/2 + 1) * ( ((qx) >= 0) ? (qx) : (Nx + (qx)) ) )  ][0] )
#define outputIm(qx,qy,d) ( output[(d) + Nz * ((qy) + (Ny/2 + 1) * ( ((qx) >= 0) ? (qx) : (Nx + (qx)) ) )  ][1] )

for (int qx = -Nx/2; qx < Nx/2; ++qx)
    for (int qy = 0; qy <= Ny/2; ++qy)
        outputRe(qx, qy, d) = ...

其中outputRe(-Nx/2, qy, d)指向与outputRe(Nx/2, qy, d)相同的数据。在实践中，我可能只是循环第一个索引并转换为频率，而不是反过来！

Answer 1

为了帮助澄清（专注于2D，因为它很容易扩展到3D数据的2D变换）：

存储

傅立叶变换后，Nx * Ny数组需要Nx * (Ny / 2 + 1)个复数元素。

首先，在y方向上，可以从复共轭对称性（来自转换实序列）来重构负频率。然后y模式ky从0 to Ny/2开始运行。 因此，我们需要Ny/2 + 1复杂值。

接下来，我们在x方向上进行变换，在这里我们不能使用相同的对称假设，因为我们正在对复值y值进行处理。因此，我们必须包含正负频率，因此x模式kx从-Nx/2 to Nx/2开始。但是，kx = -Nx/2和kx = Nx/2是等效的，因此只存储一个（请参阅here）。 因此，对于x，我们需要Nx复数值。

访问

由于tir38指出x变换后的索引从0运行到Nx-1，但这并不意味着模式kx从0运行到Nx-1。 FFTW在阵列的前半部分包含正频率，然后在后半部分以相反的顺序包含负频率，如：

kx = 0, 1, 2, ..., Nx/2, -Nx/2 + 1, ..., -2, -1

我们可以通过两种方式考虑访问这些元素。首先，因为tir38建议我们可以按顺序循环并从索引中计算出kx模式：

for (int i = 0; i < Nx; i++)
{
    // produces the list of kxs above
    int kx = (i <= Nx/2) ? i : i - Nx;

    // here we index with i, but with the knowledge that the mode is kx
    outputRe(i, ...) = some function of kx 
}

或者我们可以遍历模式kx并转换为索引：

for (int kx = -Nx/2; kx < Nx/2; kx++)
{
    // work out index from mode kx
    int i = (kx >= 0) ? i : Nx + i;

    // here we index with i, but with the knowledge that the mode is kx
    outputRe(i, ...) = some function of kx 
}

两种类型的索引以及代码的其余部分can found here。

Answer 2

第一个问题：

通过对每个z值进行2D FFT，您基本上可以进行Nz数2D FFT。对称性仅在一个维度上。因此，对于单个[Nx x Ny] 2D FFT，您将获得Nx *（Ny / 2 +1）的输出。因此，由于您正在进行这些FFT的Nz，因此您将具有[Nx x（Ny / 2 +1 +）x Nz] 3D输出。

第二个问题

是的应该是如何存储输出的。我知道不是每个人都可以访问Matlab，但是当我开始使用FFTW时，我总是将小矩阵与C ++（或者你的C中的C）和Matlab进行比较

更新（基于您的第二次编辑）

它们仍然从零索引，所以：

for (int qx = -Nx/2; qx < Nx/2; ++qx) => for (int gx = 0; gx < Nx; gx++)

对称性在y轴上，因此x数据不是多余的：

output(0, a, b) != output(Nx-1, a ,b)

其中a，b是y和z的某些值;

FFTW：用于3D数据的2D傅里叶变换的输出阵列的大小

2 个答案:

存储

访问

第一个问题：

第二个问题

更新（基于您的第二次编辑）