具有O（1）索引和O（1）prev和next的稀疏数组

Question

我想实现具有与数组相关的操作的数据结构 - 即索引和链表 - 快速访问prev / next项。类似于稀疏数组，但内存不是问题 - 关注的是时间复杂性。

要求：

• key是有限范围1..N的整数 - 您可以为它分配一个数组（即内存不是问题）

操作：

• insert(key, data) - O（1）
• find(key) - O（1） - 返回带有数据的“节点”
• delete(node) - O（1）
• next(node) - O（1） - 按照键
给出的顺序查找下一个占用节点
• prev(node) - O（1）

我正在考虑在数组中实现指向下一个/上一个占用项目的指针，但我在insert操作中遇到问题 - 我如何找到上一个和下一个项目，即双重中的位置链接列表放置新项目的位置 - 我不知道如何制作此O(1)。

如果无法做到这一点，请提供证明。

Answer 1

您可以使用Van Emde Boas tree。

执行此操作

树支持您需要的操作：

Insert: insert a key/value pair with an m-bit key
Delete: remove the key/value pair with a given key
Lookup: find the value associated with a given key
FindNext: find the key/value pair with the smallest key at least a given k
FindPrevious: find the key/value pair with the largest key at most a given k

时间复杂度为O（logm），其中m是密钥中的位数。

例如，如果所有键都是0到65535之间的16位整数，则m将为16。

修改

如果密钥在1..N范围内，则每个操作的复杂度为O（loglogN）。

该树还支持最小和最大操作，其复杂度为O（1）。

• 插入O（loglogN）
• 查找O（loglogN）
• 删除O（loglogN）
• 下一个O（loglogN）
• Prev O（loglogN）
• Max O（1）
• Min O（1）

详情

这棵树的工作原理是使用大量的子树。

例如，假设我们有16位密钥。树的第一层将存储2 ^ 8（= 256）个子树的数组。第一个子项负责0到255之间的键，第二个键负责键256,257，..，511等。

这样可以很容易地查找节点是否存在，因为我们可以直接找到相应的数组元素。

然而，由于我们可能需要搜索256个子树以找到非零元素，因此本身会使查找下一个元素变得困难。

Van Emde Boas树包含两个附加内容，可以轻松找到下一个元素：

1. 为每棵树存储最小值和最大值，因此O（1）工作是否已达到我们的极限
2. 辅助树用于存储非零孩子的索引。这个辅助树是Van Emde Boas树，其大小与原始大小的平方根有关。