段树，间隔树，二叉索引树和范围树之间有什么区别？

Question

分段树，间隔树，二进制索引树和范围树之间的区别在于：

• 关键理念/定义
• 应用程序
• 更高维度/空间消耗的性能/订单

请不要只给出定义。

Answer 1

所有这些数据结构都用于解决不同的问题：

• 细分树存储时间间隔，并针对“这些时间间隔包含给定点”查询进行了优化。
• 间隔树也会存储间隔，但针对“这些间隔中的哪一个与给定间隔重叠”查询进行了优化。它也可以用于点查询 - 类似于段树。
• 范围树存储点，并针对“哪些点落在给定间隔内”查询进行了优化。
• 二进制索引树存储每个索引的项目数，并针对“索引m和n 之间存在多少项”进行优化。

一个维度的性能/空间消耗：

• 细分树 - O（n logn）预处理时间，O（k + logn）查询时间，O（n logn）空间
• 间隔树 - O（n logn）预处理时间，O（k + logn）查询时间，O（n）空间
• 范围树 - O（n logn）预处理时间，O（k + logn）查询时间，O（n）空间
• 二进制索引树 - O（n logn）预处理时间，O（logn）查询时间，O（n）空间

（k是报告结果的数量）。

所有数据结构都可以是动态的，因为使用场景包括数据更改和查询：

• 细分树 - 可以在O（登录）时间内添加/删除间隔（请参阅here）
• 间隔树 - 可以在O（登录）时间内添加/删除间隔
• 范围树 - 可以在O（登录）时间内添加/删除新点（请参阅here）
• 二进制索引树 - 每个索引的项数可以在O（logn）时间内增加

更高的尺寸（d> 1）：

• 段树 - O（n（logn）^ d）预处理时间，O（k +（logn）^ d）查询时间，O（n（logn）^（d-1））空间
• 间隔树 - O（n logn）预处理时间，O（k +（logn）^ d）查询时间，O（n logn）空间
• 范围树 - O（n（logn）^ d）预处理时间，O（k +（logn）^ d）查询时间，O（n（logn）^（d-1）） ）空间
• 二进制索引树 - O（n（logn）^ d）预处理时间，O（（logn）^ d）查询时间，O（n（logn）^ d）空间

Answer 2

并非我可以向Lior's answer添加任何内容，但似乎可以使用好的表格。

One Dimension

k是报告结果的数量

|              | Segment       | Interval   | Range          | Indexed   |
|--------------|--------------:|-----------:|---------------:|----------:|
|Preprocessing |        n logn |     n logn |         n logn |    n logn |
|Query         |        k+logn |     k+logn |         k+logn |      logn |
|Space         |        n logn |          n |              n |         n |
|              |               |            |                |           |
|Insert/Delete |          logn |       logn |           logn |      logn |

更高的尺寸

d > 1

|              | Segment       | Interval   | Range          | Indexed   |
|--------------|--------------:|-----------:|---------------:|----------:|
|Preprocessing |     n(logn)^d |     n logn |      n(logn)^d | n(logn)^d |
|Query         |    k+(logn)^d | k+(logn)^d |     k+(logn)^d |  (logn)^d |
|Space         | n(logn)^(d-1) |     n logn | n(logn)^(d-1)) | n(logn)^d |

这些表是在Github格式化Markdown中创建的 - 如果您想要图像，请参阅Gist。

Answer 3

可以改进段树和二叉索引树的预处理边界和空间：

• 段树可以存储在 2n 空间中，然后使用动态编程将其构建在 2n = O(n) 中，如果您放弃在任意点添加间隔：https://cp-algorithms.com/data_structures/segment_tree.html#toc-tgt-6
• BIT 可以内置在 n 中，请参阅此答案：Is it possible to build a Fenwick tree in O(n)?
• BIT 还支持在 O(log(n)) 时间内作为操作追加到 end