找到最大凸面积

Question

我的问题与Plow's Question非常相似;但有这种差异：

如何找到可以适合非凸区域的最大凸面？

例如，考虑这个非凸区域：

任何想法或解决方案都将不胜感激，谢谢。

Answer 1

我写了an answer to this question on the Mathematics Stack Exchange，并且包含了我使用概念验证实现创建的图像。用于此的方法可能适用于许多实际应用，因此我将在此更详细地描述它。

拍摄你的形状，并用多边形近似它。识别具有内角> 1的连续顶点的行程。 180°。对于每个这样的运行，迭代所有可能的切线。运行的切线是连接两个连续顶点的线，其中至少有一个位于运行中。这意味着第一行由运行之前的最后一个顶点和运行的第一个顶点定义。取这条线定义的向内指向半平面，并将其与您的形状相交，然后计算该区域并将其与目前为止找到的最佳解决方案进行比较。

以简单的方法，您只需设置一个递归方案来尝试所有可能的线组合。这意味着时间复杂度为O（ n ^m ），其中 n 是顶点数， m 是运行次数。在更精细的方法中，您可以利用这样的事实：可以独立于这些其他线选择与形状内的任何其他线不相交的线。对于在形状内彼此不相交的线组也是如此。一些线条的选择将完全消除不同的运行，使得为该运行做出的选择变得无关紧要。因此，这里有很多聪明的算法，取决于您可以投入多少精力以及您需要的性能。

如果您的输入是多边形，则接触非凸顶点的线不一定与多边形的入射或出射边缘重合，但可能在这两个限制之间任意旋转。对于这种情况，上述方法可能会产生非最佳解决方案。但是，既然你在评论中说我们可能会假设“非多边形”形状，我认为这意味着“平滑”。在这种情况下，每个点都有一个明确定义的切线，并且每个切线都会合理地接近多边形近似的边缘。

与我最初认为的相反，上述情况也适用于带孔的形状，因为凸孔的边界会导致形状本身的非凸形运行。因此，运行将确保您调查所有可能的方法来切除漏洞。对于非凸孔，SImilar：相关的运行将确保您将其切除，而不会丢失任何凸起的解决方案。

应用于您的示例图像，算法会产生以下结果：

顶点的非凸曲线为红色，最佳线条为蓝色，结果区域为绿色。这背后的多边形有269个顶点。实现是在Java中完成的，很少考虑性能，对所有可能的组合进行强力递归搜索，以及一些适用于此输入数据的假设，但一般可能会失败。